П Л А Н. 1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

Завдання додому

1) Конспект; [1] с. 470 – 493;

[2] с. 340 – 350.

Питання для самоконтролю

1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

2. Однорідні та неоднорідні рівняння.

Л Е К Ц І Я 30

Тема: Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

Мета: сформувати поняття різницевого рівняння порядку k; ознайомити з методами розв’язування різницевих рівнянь, застосуванням різницевих рівнянь в економіці.

Література: [1, с. 478-483]; [6, с. 441-444].

1. Однорідні лінійні різницеві рівняння.

2. Неоднорідні лінійні різницеві рівняння.

1. Означення. Нехай у₀, у₁, у₂, у₃,... – послідовність дійсних чисел. Різницевим рівнянням порядку k називають рівняння, що зв’язує у₀, у₁, у₂, у₃,..., у_n+k для кожного значення n = 0, 1, 2, 3...

Приклад: Визначити порядок різницевих рівнянь:

а) - 3-го порядку

б) - 2-го порядку

в) +- 1-го порядку

Розв’язком різницевого рівняння називають таку множину значень , яка задовольняє різницеве рівняння для усіх можливих значень n.

Однорідним різницевим рівнянням 1-го порядку називають рівняння виду або .

Теорема: Загальним розв’язком різницевого рівняння вигляду , де - задана стала, буде , де С – довільна стала

Доведення. В дане рівняння підставимо значення n = 1, 2, 3,... Одержимо:

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

...

Порівнюючи з формулою бачимо, що , що й потрібно було довести.

Щоб знайти частинний розв’язок різницевого рівняння, потрібно задати початкові умови.

Зауваження: Якщо , то розв’язок зростає за показниковим законом; якщо - спадає.

Приклад: Знайти частинний розв’язок рівняння при початкових умовах

Запишемо формулу ,

.

Використовуючи початкові умови знайдемо С: при n = 5

Неоднорідним різницевим рівнянням 1-го порядку називається рівняння виду

.

Формула для загального рівняння:

, тобто загальний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння 1-го порядку являє собою суму двох доданків: перший – загальний розв’язок відповідного однорідного різницевого рівняння, другий – частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Частинний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння знаходимо із загального розв’язку, використовуючи початкові умови.

Приклад: Розв’язати різницеве рівняння ,

Використовуємо формулу

- загальний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння.

Знайдемо С, використовуючи початкові умови:

при n = 1, y₁ = 5

2C = 8

C = 4

або

2. У фінансових розрахунках часто використовують різницеві рівняння замість геометричної прогресії.

Дата добавления: 2014-01-04