П Л А Н. Мета: ознайомити з достатніми ознаками збіжності рядів з додатними членами ознаки порівняння, ознака Д’Ала

Завдання додому

Конспект; [1] с. 493 – 498,

[2] с. 356 – 362.

Л Е К Ц І Я 32

Тема: Ознаки збіжності рядів.

Мета: ознайомити з достатніми ознаками збіжності рядів з додатними членами ознаки порівняння, ознака Д’Аламбера, ознаки Коші); абсолютною та умовною збіжністю рядів; ознакою Лейбніца.

Література: [1, с. 498-505]; [6, с. 476-480].

1. Достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами (ознаки порівняння,

ознака Д’Аламбера, ознаки Коші).

2. Ознака Лейбніца.

3. Абсолютна та умовна збіжність. Теорема Коші.

1. Ознака Д’Аламбера.

Якщо для ряду з додатними членами u₁+ u₂+ … + u_n +… існує границя

, то:

1) ряд збіжний при l < 1

2) ряд збіжний при l > 1

Якщо l = 1, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Треба дослідити ряд за допомогою інших ознак.

Ознака Д’Аламбера застосовується до тих рядів, загальний член яких містить показникову функцію , або факторіали чисел, які залежать від n, або нескінченні добутки.

Приклад: Дослідити ряд на збіжність

, отже ряд збіжний

Зауваження: n = 1, 2, 3, 4,...;

2n, 2n+2, 2n – 2 – запис парного числа;

2n – 1, 2n+1 – запис непарного числа;

n! = , 0!=1

Ознаки порівняння

1) Нехай задано два ряди з невід’ємними членами

, (1)

, (2)

і для всіх n виконується нерівність

Тоді, якщо ряд (2) збіжний, то збіжний і ряд (1).Тобто, якщо збіжний ряд з більшими членами, то збіжний і ряд з меншими членами.

Якщо ж ряд (1) розбіжний, то розбіжний і ряд (2). Тобто, якщо розбіжний ряд з меншими членами, то розбіжний і ряд з більшими членами.

2) Гранична ознака порівняння.

Якщо задано два ряди з додатними членами

причому існує скінченна, відмінна від нуля границя відношення загальних членів двох рядів

, то ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

Для порівняння часто користуються рядами:

1)

геометрична прогресія

2)

- стале число

ряд Діріхле або узагальнений гармонічний ряд

3) - розбіжний гармонічний ряд

Приклад: Дослідити ряди на збіжність:

а)

- гармонічний ряд, розбіжний

За першою ознакою порівняння даний ряд розбіжний, так як його члени більші відповідних членів гармонічного ряду, який є розбіжним.

б)

- загальний член ряду Діріхле (збіжного)

Отже, обидва ряди ведуть себе однаково, тобто даний ряд збіжний.

Ознаки Коші

1) Радикальна ознака Коші.

Якщо для ряду з додатними членами

існує границя , то цей ряд збіжний при < 1 і розбіжний при > 1.

Якщо = 1, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

Застосовується тоді, коли можна добути корінь степеня n з u_n

Приклад:

;

отже ряд збіжний

2) Інтегральна ознака Коші.

Нехай задано ряд

, члени якого є значеннями неперервної, додатної і монотонно спадної функції f (x) на проміжку [1; +).

Тоді даний ряд збіжний, якщо збіжний невласний інтеграл , і розбіжний, якщо цей інтеграл розбіжний.

Приклад:

- розбіжний.

Інтегральна ознака Коші застосовується в тому випадку, коли можна знайти інтеграл від загального члена ряду.

2, 3. Розглянемо ряд, знаки членів якого строго чергуються, тобто ряд, довільні два сусідні члени якого мають різні знаки:

(3)

Ознака Лейбніца

Якщо члени ряду (3) спадають по модулю і загальний член ряду при прямує до 0, то ряд (3) збіжний. Якщо ж не виконується хоча б одна з цих умов, то ряд розбіжний.

Приклад: За ознакою Лейбніца перевірити збіжність даного ряду:

1) порівняємо члени ряду по модулю:

>... – спадають

2) знайдемо

Отже, ряд збіжний.

Ряд називається знакозмінним, якщо серед його членів є як від’ємні, так і додатні.

Нехай дано ряд, знаки членів якого строго чергуються:

Якщо цей ряд збігається за ознакою Лейбніца і збігається ряд, утворений з модулів його членів, тобто ряд

то ряд називається абсолютно збіжним.

Якщо ж цей ряд збігається за ознакою Лейбніца, а ряд, утворений з модулів його членів, розбіжний, то ряд називається умовно збіжним.

Абсолютно збіжні ряди мають ряд важливих властивостей, наприклад, переставну властивість: будь-який ряд утворений за допомогою перестановки членів абсолютно збіжного ряду також абсолютно збіжний і має ту саму суму, що й заданий ряд. Умовно збіжні ряди переставної властивості не мають, тому що від перестановки їхніх членів може змінтися сума ряду і навіть утворитися розбіжний ряд.

Алгоритми перевірки на абсолютну збіжність.

1) Утворюється ряд з модулів членів даного ряду.

2) Якщо цей ряд збіжний, то значить ряд збігається абсолютно.

3) Якщо цей ряд розбіжний, то даний ряд перевіряють на збіжність за ознакою Лейбніца. Якщо даний ряд збіжний, то він збігається умовно.

Приклад: Абсолютно чи умовно збігається ряд:

- ряд Діріхле (збіжний)

Отже, обидва ряди поводять себе однаково, значить даний ряд збігається абсолютно.

Ряди, знаки членів яких строго чергуються, застосовують для наближених обчислень значень функцій.

Дата добавления: 2014-01-04