Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Рассмотрим на плоскости две системы координат – прямоугольную и полярную.

Введем разбиение области интегрирования линиями “полярной сетки» -
лучами φ=const и концентрическими окружностями r=const (картинка на радаре!). Ячейкой σ_ij такого разбиения является «криволинейный прямоугольник» с площадью ΔS_ij=r_i∙Δr_i∙Δφ_j.

φ _j+1

Интегральная сумма для двойного интеграла имеет вид

r_i

σ_ij

Δφ_j

r_i+1

Δr_i

φ _j

После упорядочения суммирования и перехода к пределу Δφ_j→0, Δr_i→0, получим для двойного интеграла в полярных координатах двукратные интегралы, соответствующие выбранному порядку интегрирования:

В полученных кратных интегралах:

- r₁(φ), r₂(φ) и φ₁(r), φ₂(r) – уравнения границ области в полярных координатах вдоль луча φ=const или вдоль окружности r=const;
φ_min, φ_max (r_min, r_max) – наименьшее и наибольшее значения полярного угла (длины радиус-вектора точки) в области интегрирования D.

Замечание 1.1 Если для выбранного порядка интегрирования область оказывается «сложной», ее следует разделить на «простые» и использовать свойство аддитивности интеграла.

============================

Дата добавления: 2014-01-04