Основное уравнение гидростатики в интегральной форме для несжимаемой жидкости

Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме

Уравнение Эйлера

Общие Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Из находящейся в равновесии жидкости выделим элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельные осям координат, и составим для него уравнения равновесия. На такой объем жидкости будут действовать объемные силы, проекции которых на оси координат, рассчитанные на единицу массы есть – Х,Y,Z и на боковых гранях – нормальные силы гидростатических давлений. Выясним их величины.

Пусть величина гидростатического давления в центре параллелепипеда равна p. Тогда, так как p(x, y, z) есть непрерывная функция координат, величины гидростатических давлений в точках M и N, расположенных в центре площадок 2-4-4’-2’ и 1-1’-3’-3, находим из разложения указанной функции в ряд Тейлора.

,.

Принимая их за средние гидростатические давления на указанных площадках и проектируя на ось ОХ все силы, действующие на элементарный параллелепипед, получим.

Отсюда

Аналогично получим остальные два уравнения. Запишем все три уравнения вместе.

;

; (2.1)

;

В векторной форме эта система может быть записана в форме

(2.2)

Уравнения (2.1) носят название системы дифференциальных уравнений Эйлера для гидростатики. Эта система уравнений показывает, что при равновесии жидкости объемные силы, действующие на жидкость, уравновешиваются соответствующими поверхностными силами.

Величина гидростатического давления в данной точке не зависит от ориентации в пространстве площадки, на которой она расположена. (основная теорема Гидростатики).

p_x=p_y=p_z=p_n

Где p_x, p_y, p_z – гидростатическое давление по направления координатных осей, а p_n- по произвольному направлению.

В диф форме:

(2.4)

Это уравнение называют основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме.

Гидростатическое давление в точке будучи одинаковым по любому направлению, не одинаково в различных точках пространства то есть является функцией координат.

p=f(x,y,z)

Возьмем сосуд с жидкостью представленный на рис 2.5 жидкость находится в покое. Из всех объемных сил на него будут действовать только сила тяжести.

Тогда проекции ускорений на оси a_y=Y и а_х=X будут равны 0, а a_z=Z = -g

Атмосферное давление воздействующее на поверхность жидкости = p₀

Подставляем эти значения в осн. ур. в диф. Форме

Интегрируем данное выражение

=const

Чтобы определить постоянную интегрирования С рассмотрим сосуд с жидкостью.

Для точки находящейся на поверхности p=p₀ и z=z₀.

Тогда находим сто постоянная интегрирования равна

Тогда основное уравнение гидростатики запишется в виде.

Или

, или

Вместо разницы координат z₀-z для жидкости удобнее ввести глубину h погружения точки под уровень свободной поверхности. При этом для гидростатического давления в данной точке несжимаемой жидкости будем иметь:

р = p_о + γh (2.6)

Это и есть уравнение гидростатики для несжимаемой жидко­сти, когда из объемных сил на нее действуют только силы тяжести.

Входящее в него давление р_о на свободной поверх­ности называется начальным гидростатическим давлением, а давление

р' = γh = ρgh — избыточным гидростатическим давле­нием.

Таким образом, полное гидроста­тическое давление р данной точке не­сжимаемой жидкости складывается из начального и избыточного гидростатиче­ских давлений, т. е.

р = р_о + р' (2.7)

Из формулы (2.6) следует, что вели­чина избыточного гидростатического дав­ления в данной капельной жидкости за­висит только от глубины погружения точки и прямо пропорциональна ей.

Избыточное давление может быть как положительной, так и отрицательной. Такая трактовка приводит нас к понятию абсолютного давления, которое в соответствии с (2.7) может быть представлено как сумма барометрического (атмосферного) давления и избыточного, т.е.

(2.8)

Отрицательное избыточное давление называют вакуумом.

Дата добавления: 2014-01-04