Парабола

Определение 34.4. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.

Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса F опустим перпендикуляр FD на директрису l. Начало координат O расположим на середине отрезка FD, ось Ox направим вдоль отрезка FD так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора . Ось Oy проведем перпендикулярно оси Ox (рис. 34.5).

Рис.34.5.

Теорема 34.2. Пусть расстояние между фокусом F и директрисой l параболы равно p. Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение

y^2=2px

(34.3)

Доказательство. В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка , а директриса имеет уравнение (рис. 34.5).

Пусть M(x; y) –– текущая точка параболы. Очевидно, что

Расстоянием от точки M до директрисы l служит длина перпендикуляра MK, опущенного на директрису из точки M. Из рисунка 34.5 очевидно, что MK = . Тогда по определению параболы MK=FM, то есть

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

откуда

После приведения подобных членов получим уравнение (34.3).

y²=2px

Определение 34.5. Уравнение (34.3) называется каноническим уравнением параболы.

Свойство 34.2. Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью Ox.

Доказательство. Проводится аналогично доказательству свойства 33.1 для эллипса.

Определение 34.6. Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы. Эксцентриситетом параболы (по определению) является число ε=1

Поменяв оси координат местами, уравнение (34.3) можно записать в виде

который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Парабола изображена на рисунке 34.6.

Рис.34.6.Парабола

Дата добавления: 2014-01-04