Общее уравнение плоскости и его исследование

Здесь мы будем изучать общее уравнение плоскости (36.4), т.е. рассматривать как особые случаи, когда какие-либо (какой- либо) из коэффициентов A,B,C или D обращается в ноль (с учётом ограничительного условия (36.1), возможно 13 таких случаев), так и общий случай, когда

1.A=0. Тогда уравнение плоскости примет вид:

Эта плоскость имеет вид нормаль , т.е. она ортогональна вектору

. Однако вектор , так же ортогонален вектору

(используя формулу (24.9) (см. §24), непосредственно можно убедиться, что скалярное

произведение т.е. и поэтому данная плоскость коллинеарная вектору т.е оси Оx (она либо параллельна оси Ox либо проходит через нее, запись || Ox)

Остальные случаи рассматриваем аналогично. Составим таблицу особых случаев.

Таблица особых случаев

№ п/п	Условие на координаты	Уравнение плоскости	Геометрический смысл	Пояснения
	A=0	By+Cz+D=0	|| OX	См. Выше
	B=0	Ax+Cz+D=0	|| OY	Аналогичный случай
	C=0	Ax+By+D=0	|| OZ	Аналогичный случай
	D=0	Ax+By+Cz=0	(проходит через начало координат	Ибо координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости.
	A=B=0	z=-D/C	|| плоскости	Составляем случай 1 и 2
	A=C=0	y=-D/B	|| плоскости	Составляем случай 1и 3
	B=C=0	X=-D/A	|| плоскости	Составляем случай 2 и 3
	A=D=0	By+Cz=0	(плоскость проходит через ось Ox	Составляем случаи 1 и 4, плоскость коллинеарна оси Ox и проходит через одну из её точек
	B=D=0	Ax+Cz=0		Составляем случай 2и 4
	C=D=0	Ax+By=0		Составляем случай 3 и 4
	A=B=D=0	z=0		Составляем случай 5 и 4
	A=C=D=0	Y=0		Составляем случай 6 и 4
	B=C=D=0	x=0		Составляем случай 7 и 4

14. Общий случай

Так же разделив обе части уравнения (36.4) на –D получим:

или

Обозначим далее за из последнего равенства имеем:

(36.6)

К уравнению (36.6) мы еще вернемся в § 38(п.38.5)

Дата добавления: 2014-01-04