Свойства открытых и замкнутых множеств

Типы множеств вещественной прямой

Положение точки относительно множества A

Односторонние окрестности

Топология вещественной прямой

Числовые множества

Основные множества чисел это отрезок [a; b] и интервал (a; b).

Числовое множество A называется ограниченным сверху, если существует такое число M, что a £ M для любого a Î A. Число M в этом случае называется верхней гранью или мажорантой множества.

Супремумом множества A, sup A называется …

… наименьшая из его мажорант;

… число M такое, что a £ M для любого a Î A и в любой окрестности M есть элемент множества A;

Аналогично вводятся понятия «ограниченное снизу», «миноранта» (нижняя грань), и «инфимум» (точная нижняя грань).

Полнота вещественной прямой (равносильные формулировки)

1. Свойство вложенных отрезков. Пусть заданы отрезки [a1; b1] É [a2; b2] É … É [an; bn] É … Они имеют хотя бы одну общую точку. Если длины отрезков можно выбрать сколь угодно малыми, то такая точка единственна.

Следствие: метод дихотомии для теорем существования. Пусть задан отрезок [a1; b1]. Делим его пополам и выбираем одну из половин (так, чтобы она обладала нужным свойством). Эту половину обозначим через [a2; b2]. Продолжаем этот процесс неограниченно. Получим систему вложенных отрезков, длины которых приближаются к 0. Значит, они имеют ровно одну общую точку. Осталось доказать, что она и будет искомой.

2. Для любого непустого ограниченного сверху множества существует супремум.

3. Для любых двух непустых множеств, одно из которых лежит левее другого, существует разделяющая их точка (существование сечений).

Окрестности:

U(x) = (a, b), a < x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;

U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;

U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).

Проколотые окрестности:

Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ {x}; Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ {x}

Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = [x; x + e), e > 0;

Ǔe–(x) = (x – e; x), e > 0; Ǔe+(x) = (x; x + e), e > 0.

Точка прикосновения a Î R:

в любой ее окрестности U(a) найдется точка из множества A.

Предельная точка a Î R:

в любой ее проколотой окрестности Ǔ(a) найдется точка из A.

Изолированная точка a Î A:

в некоторой ее проколотой окрестности Ǔ (a) нет точек из A.

Внутренняя точка a Î A:

входит в A вместе с некоторой своей окрестностью.

Множество A называется

открытым, если каждая его точка – внутренняя;

замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки;

замкнутым, если его дополнение R \ A открыто.

Объединение любого числа открытых множеств открыто.

Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

Дата добавления: 2014-01-04