Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Исследование на выпуклость

Исследование на экстремум.

Остаточные члены формулы Тейлора

Свойства функции, дифференцируемой на множестве

Свойства функции, дифференцируемой в точке

Список определений дифференцируемой функции

Функция называется дифференцируемой в точке a, если …

1. … она непрерывна в a и у нее существует многочлен Тейлора первой степени в точке a, т.е. f(x) = c0 + c1(x–a) + o(x–a) при x ® a.

2. … у нее существует дифференциал в точке a, т.е. Df(x) = df + o(Dx) при Dx ® 0. Здесь Dx = x – a, Df(x) = f(x) – f(a), df = cDx.

3. … у нее существует производная в точке a, которая задается как f¢(a) =

При этом с0 = f(a), c1 = f¢(a) и df = f¢(a) dx, где dx = Dx.

4. … ее график имеет касательную в точке a. Касательная – это предельное положение секущей, проходящей через точки (a, f(a)) и (x, f(x)), при x ® a. Уравнение касательной совпадает с многочленом Тейлора c0 + c1(x–a) = f(a) + f¢ (a)·(x–a).

Теорема Ферма.

Пусть функция f имеет в точке a локальный экстремум и дифференцируема в ней. Тогда f¢(a) = 0.

Теорема Ролля.

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b), то в некоторой точке c Î (a, b) имеем f¢(c) = 0.

 

Формула конечных приращений Лагранжа.

Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то f(b) – f(a) = f¢(c)·(b – a), где c – некоторая точка из (a, b).

 

Формула конечных приращений Коши.

Если функции f и g непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), f¢(x) и g¢(x) не обращаются в 0 одновременно и g(b) ¹ g(a), то

= , где c – некоторая точка из (a, b).

Если функция n раз дифференцируема в точке a, то ck = , в частности, c0 = f(a). В этом случае формула Тейлора приобретает вид

f(x) = f(a) + f¢(a)·(x–a) + (x–a)2 + … + (x–a)n + Rn+1(x).

Остаток Rn+1(x) формулы Тейлора можно записать в форме …

1. … Пеано. Rn+1(x) = o((x–a)n) при x ® a.

2. … Лагранжа. Rn+1(x) = (x–a)n+1, где c – точка между a и x.

Дополнительное требование: функция имеет производную (n+1)-го порядка в интервале (a; x) или (x; a), а все производные меньших порядков непрерывны на отрезке [a; x] или [x; a].

3. … Коши. Rn+1(x) = (x–a)(x–с)n, где c – точка между a и x.

Дополнительное требование: функция имеет производную (n+1)-го порядка в интервале (a; x) или (x; a), а все производные меньших порядков непрерывны на отрезке [a; x] или [x; a].

Приложения к исследованию функций

Пусть функция дифференцируема на интервале (a; b), тогда

Производная   Функция   Производная
f '(x) = 0 Þ f(x) = const Þ f '(x) = 0
f '(x) > 0 Þ f(x) возрастает Þ f '(x) ³ 0
f '(x) < 0 Þ f(x) убывает Þ f '(x) £ 0

Точка, в которой производная равна 0 или не существует, называется критической или подозрительной на экстремум.



Достаточное условие экстремума: Пусть x0 – критическая точка. Если f ‘’(x0) > 0, то в этой точке – минимум, а если f ‘’(x0) < 0, то в этой точке – максимум,

Если f ‘’(x) > 0 на интервале (a; b), то функция выпукла вниз (лежит выше своей касательной).

Если f ‘’(x) < 0 на интервале (a; b), то функция выпукла вверх (лежит ниже своей касательной).

В точке перегиба (в которой функция меняет направление выпуклости) имеем f ‘’(x) = 0.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Исследование на выпуклость

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 157; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.159.90.0
Генерация страницы за: 0.1 сек.