Свойства, связанные с неравенствами

Аддитивность

Арифметические свойства

Линейность

Свойства интеграла Римана.

Определение интеграла Римана

Интеграл Римана или определенный интеграл задается для функции f на отрезке [a; b]. Он является пределом интегральных сумм.

Для построения интегральной суммы нужно выбрать

§ разбиение отрезка [a; b], т.е. набор точек t = {x0, x1, …, xn}, где

a = x0 £ x1 £ … £ xn = b.

§ оснащение этого разбиения, т.е. набор точек s = {x0, x1, …, xn}, где

xi Î [xi–1; xi].

Для разбиения вычисляются длины отрезков Dxi = xi – xi–1. Максимальная из этих длин называется диаметром разбиения и обозначается d.

Тогда интегральная сумма есть

=.

Интегралом от функции f по отрезку [a, b] называется предел интегральных сумм при d стремящемся к 0: = =.

Говорят, что интегральные суммы стремятся к числу I при d ® 0, если " e > 0 $ d > 0 " t, s как только d(t) < d имеем | – I| < e.

Классы интегрируемых по Риману функций

Ограниченные функции

L-функции = = интегрируемые функции

Ограниченные функции с конечным числом разрывов

Ограниченные монотонные функции

Непрерывные функции

На этой схеме L-функции – это ограниченные функции, множество разрывов которых имеет лебегову меру 0.

Множество имеет лебегову меру 0, если его можно покрыть системой (не обязательно конечной) интервалов, суммарная длина которых меньше любого наперед заданного e > 0.

1. Интегрируемая функция ограничена (необходимое условие интегрируемости).

2. = + если интегралы справа существуют.

3. =, где C = const и существует.

4. Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то существуют интегралы,, а также, если |g(x)| ³ a > 0.

5. Если f(x) интегрируема на [a, b], а g(x) отличается от нее только в конечном числе точек, то g(x) также интегрируема и =.

6. = +, a £ c £ b, если хотя бы одна из частей равенства определена.

7. Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b] и f(x) £ g(x) для x Î [a, b], то
£.

8. Если f(x) интегрируема на [a, b], f(x) ³ 0 и f(x) > 0 на некотором промежутке, то > 0.

9. Если f(x) интегрируема на [a, b], то £.

10. Теорема о среднем.

Пусть f и g интегрируемы на [a, b], g(x) ³ 0 на [a, b], тогда

= m, где m £ m £ M, m =, M =.

В частности, если f(x) непрерывна, то m = f(c) для некоторого c Î [a, b].

Оглавление

Краткое содержание курса математического анализа за 1 семестр 1

Множества и операции над ними. 1

Способы описания множеств. 1

Операции над множествами. 1

Вещественные числа. 1

Расширенная прямая. 2

Числовые множества. 2

Топология вещественной прямой. 2

Полнота вещественной прямой (равносильные формулировки) 2

Окрестности: 2

Проколотые окрестности: 2

Односторонние окрестности. 2

Положение точки относительно множества A. 2

Типы множеств вещественной прямой. 3

Свойства открытых и замкнутых множеств. 3

Соотношения и функции. 3

Действия с функциями. 3

Поведение функций. 4

Точки, связанные с последовательностью x_n 4

Теоремы о существовании предела последовательности. 4

Непрерывная функция. 5

Локальные свойства непрерывных функций. 5

Арифметические свойства непрерывных функций. 5

Глобальные свойства непрерывных функций. 5

Предел функции. 6

Свойства предела. 6

Существование предела. 6

Применение пределов к исследованию функций. 6

Типы разрывов функции. 6

Асимптоты. 6

Элементарные функции. 7

Асимптотическое сравнение функций. 7

Таблица эквивалентностей. 7

Многочлен Тейлора. 7

Список определений дифференцируемой функции. 8

Свойства функции, дифференцируемой в точке. 8

Свойства функции, дифференцируемой на множестве. 8

Остаточные члены формулы Тейлора. 8

Приложения к исследованию функций. 9

Исследование на экстремум. 9

Исследование на выпуклость. 9

Определение интеграла Римана. 9

Классы интегрируемых по Риману функций. 10

Свойства интеграла Римана. 10

Линейность. 10

Арифметические свойства. 10

Аддитивность. 10

Свойства, связанные с неравенствами. 11

Дата добавления: 2014-01-04