Конспект лекции 13

Вопросы для самоконтроля

1. Как называется раздел химии, в котором изучаются скорости и механизмы химических реакций?

2. Какие реакции называются: а) гомогенными; б) гетерогенными?

3. Что называется скоростью гомогенной реакции? Чему равна скорость гомогенной реакции?

4. Что называется скоростью гетерогенной реакции?

5. От каких факторов зависит скорость любой химической реакции? Какие дополнительные факторы влияют на скорость гетерогенных реакций?

6. Как формулируется закон действующих масс?

7. Чему равна константа скорости реакции?

8. Как формулируется правило Вант-Гоффа?

9. Для чего необходима энергия активации? Какие молекулы называются активными?

10. Что такое катализатор? Что называется катализом?

11. Какой катализ называется гомогенным? Приведите примеры такого катализа.

12. Какой катализ называется гетерогенным? Приведите примеры такого катализа.

13. Как называются вещества, которые замедляют химические реакции?

14. Определите скорость реакции А+В = АВ при концентрациях: с_а= 2 моль/л; с_в= 0,5 моль/л и константе скорости реакции 10^–3 моль ^–1 · л · с ^–1.

15. Какие вы знаете реакции, заканчивающиеся взрывом? Можно ли их отнести к разветвленным цепным реакциям?

16. Напишите кинетическое уравнение реакции

NО₂ + СО = NO + СО₂ , протекающей через две последовательные стадии

N0₂ + NO₂ → NO₃ + NO (медленная стадия).

NО₃ + CO NO₂ + CO₂ (быстрая стадия)

Эллипс и его свойства.

Литература. § 19.

Под алгебраической кривой второго порядка понимается линия на плоскости, уравнение которой в некоторой аффинной системе координат имеет вид, где коэффициенты и не равны одновременно нулю.

Определение 1. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и, принадлежащих той же плоскости, является постоянной величиной, большей расстояния между и.

Точки и называются фокусами эллипса. Обозначим расстояние между фокусами через, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через. Тогда, как следует из определения 1,

. (16.1)

Пусть М - точка эллипса, и - его фокусы (рис. 62). Из неравенства, связывающего стороны треугольника следует, что, что полностью согласуется с неравенством (16.1). Ясно, что не существует точек плоскости, для которых. Если же потребовать, чтобы, то множество точек, удовлетворяющих этому условию, представляет собой отрезок. Таким образом, ограничения, наложенные неравенством (16.1), являются естественными, вытекающими из неравенства треугольника. Фокусы и могут совпадать. В этом случае эллипс представляет собой окружность радиуса а, центр которой находится в точке. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что фокусы и не совпадают друг с другом.

Выведем уравнение эллипса. Для этого выберем прямоугольную декартовую систему координат так, чтобы ее начало совладало с серединой отрезка, а ось абсцисс содержала фокусы и (см. рис. 62). Такая система координат называется канонической. В этой системе координаты фокусов имеют вид:. Если точка М имеет координаты х и у, то. Поэтому точка М принадлежит эллипсу в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнению:

(16.2)

Полученное выражение, по сути, и является уравнением эллипса. Для упрощения преобразуем его, перенеся один из радикалов в правую часть равенства:. Возведем обе его части в квадрат:. Отсюда:

Еще раз возведем обе части полученного равенства в квадрат:

или

Из неравенства (16.1) следует:. Поэтому разность равна некоторому положительному числу. Положим:

. (16.3)

Тогда полученное уравнение приобретает вид:.Разделив обе части равенства на, окончательно получим:

. (16.4)

Мы показали, что если точка принадлежит эллипсу, т.е. ее координаты в канонической системе координат удовлетворяют уравнению (16.2), то они также служат решениями уравнения (16.4.). Покажем, что если координаты точки являются решением уравнения (16.4), то они удовлетворяют (16.2), т.е. точка лежит на эллипсе. Тем самым будет доказано, что (16.4) - уравнение эллипса. Возьмем произвольную точку, координаты которой удовлетворяют уравнению (16.4). Обозначим через и расстояния от точки М до точек и:. Числа и носят название фокальных радиусов точки М. Из уравнения (16.4) выразим через:.·Поэтому

Из соотношения (16.3) следует, что. Отсюда

.

Таким образом,

. (16.5)

Аналогично доказывается, что

. (16. 6)

Покажем, что. Координаты точки М удовлетворяют уравнению (16.4). Поэтому, т.е.

. (16.7)

Предположим, что. Тогда, и. Теперь раскроем модуль, в соотношении (16.6). Из неравенства (16.7) получим:. Так как с – положительное число, то. Но числа а и с удовлетворяют неравенству (16.1):. Поэтому, следовательно, или. Отсюда вытекает, что. Таким образом,.

Рассмотрим случай, при котором. Тогда, т.е.. Из неравенства (16.7) следует, что. Поэтому, используя (16.1), получим: или. Таким образом, и.

Мы доказали, что точка в том и только в том случае принадлежит эллипсу, когда ее координаты удовлетворяют уравнению (16.4). Его называют каноническим уравнением эллипса. Оно является алгебраическим второго порядка, поэтому эллипс представляет собой алгебраическую кривую второго порядка.

Исследуем простейшие свойства эллипса. Из уравнения (16.4) следует, что. Поэтому все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми и (рис. 63). Пусть эллипс пересекает ось абсцисс в точке.Тогда из уравнения (15.4) следует, что,, т.е.. Таким образом, эллипс пересекает ось абсцисс в точках. Аналогично доказывается, что координаты точки пересечения эллипса с осью ординат равны: (см. рис. 63). Точки и называются вершинами эллипса, а числа а и b - его полуосями, причем а – большой, а b – малой полуосью эллипса.

Эллипс симметричен относительно осей канонической системы координат и центрально симметричен относительно ее начала. Возьмем произвольную точку, принадлежащую эллипсу:. Координаты точек и, симметричных точке М соответственно относительно осей абсцисс и ординат и относительно начала системы координат, равны:. Очевидно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению (16.4), точки лежат на эллипсе.

Исходя из доказанного, для построения эллипса достаточно определить множество его точек в первой координатной четверти, а затем воспользоваться свойством симметричности относительно координатных осей. Если и, то из уравнения (16.4) получаем:. Средствами математического анализа доказывается, что эта функция представляет собой гладкую непрерывную кривую. Эллипс изображен на рисунке 63.

Из определения 1 вытекает способ построения эллипса, который часто используется на практике. Возьмем нить длиной, закрепим ее концы в точках и, натянем ее с помощью острия карандаша. Передвигая карандаш по бумаге и натягивая при этом нить, получаем рисунок эллипса (рис. 64).

Разберем еще один способ построения эллипса. Пусть и - вершины эллипса, О - его центр, а и b - полуоси. Проведем оси канонической системы координат (рис. 65). Построим две окружности a и b с центром в точке О и радиусами а и b. Вершины и лежат на окружности a, а и - на b. Проведем луч l с началом в точке О. Обозначим через t - ориентированный угол между положительным направлением оси абсцисс и лучом l. Легко видеть, что координаты точек Q и Р пересечения окружностей a и b с лучом l равны: и. Построим точку М пересечения двух прямых, одна из которых проходит через Q и параллельна оси ординат, а другая ‑ через Р и параллельна оси абсцисс. Тогда координаты точки М равны:. Подставим их в каноническое уравнение эллипса, получим:

.

Таким образом, точка М лежит на эллипсе. Меняя положение луча можно получить любое количество точек эллипса. Уравнения

называются параметрическими уравнениями эллипса.

Определение 2. Эксцентриситетом эллипса называется число, равное отношению расстояния между фокусами к сумме фокальных радиусов любой его точки.

Эксцентриситет эллипса будем обозначать через e. Так как, а, то

. (16.8)

Из неравенства (16.1) следует, что. Так как полуоси а и b и половина расстояния между фокусами с связаны соотношением: (см. (16.3)), то. Отсюда следует, что если, то, т.е. эллипс представляет собой окружность. С увеличением эксцентриситета от 0 до 1 отношение уменьшается от 1 до 0. т.е. эллипс "сжимается" к оси Ох и "приближается" к отрезку. В дальнейшем будем предполагать, что.

Определение 3. Прямые:

(16.9)

называются директрисами эллипса.

Директрисы и параллельны оси ординат. В силу того, что, они не пересекают эллипс. Будем считать, что директриса соответствует фокусу, а директриса ‑ фокусу. На рисунке 66 изображен эллипс и его директрисы.

Вычислим расстояния и от произвольной точки эллипса до директрис и. Воспользуемся формулой для вычисления расстояния от точки до прямой, полученной в параграфе 14:

, (16.10)

Сравним найденные соотношения с формулами (16.5) и (16.6). Используя формулу (16.8), соотношения, выражающие фокальное радиусы точки через а и с, можно выразить через а и эксцентриситет e: Таким образом, если точка принадлежит эллипсу, то отношения и равны эксцентриситету.

Покажем обратное. Пусть даны эллипс и точка, отношение расстояний от которой до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса. Покажем, что эта точка лежит на эллипсе. Введем его каноническую систему координат. Обозначим через х и у координаты точки. Будем считать, что, где и - расстояния от данной точки до фокуса и до директрисы. Так как координаты равны, а уравнение директрисы имеет вид, то,. Поэтому. Возведем обе части этого равенства в квадрат и преобразуем полученное выражение, используя соотношения (16.3) и (16.8):

Разделив обе части этого равенства на, окончательно получим:.Таким образом, точка М лежит на эллипсе. Аналогично доказывается такое же утверждение для фокуса и директрисы. Мы доказали следующую теорему.

Теорема. (Директориальное свойство эллипса). Эллипс представляет собой множество всех точек плоскости, для которых отношение расстояния до точки (фокуса) к расстоянию до прямой (директрисы), не содержащей эту точку, является постоянным числом (эксцентриситетом), меньшим единицы.

Дата добавления: 2014-01-04