КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теорема РолляПусть функция определена и дифференцируема Теоремы о дифференцируемых функциях. Волгодонск ЛЕКЦИЯ №1 «Теоремы о дифференцируемых функциях, правило Лопиталя » 2011 Теорема Ферма. на интервале (a;b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда. Доказательство: По определению производной: . Пусть для определенности в точке функция принимает набольшее значение. Тогда числитель. Рассмотрим два случая: 1). По теореме о предельном переходе в неравенствах: предел дроби меньше нуля Þ. 2). . Ч.т.д. Геометрический смысл теоремы Ферма: Так как, то угловой коэффициент касательной равен нулю Þ касательная параллельна оси ОХ.
Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем на концах интервала принимает одинаковые значения. Тогда существует точка сÎ(a;b), значения производной в которой равно 0, т.е.. Доказательство:
Возможны два случая: 1) М=m.
y
Хотя бы одна из точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения, находится внутри [a;b]. В этом случае в указанной точке выполняются условия теоремы Ферма и, следовательно, существует точка c, принадлежащая (a;b), в которой производная. Ч.т.д. Геометрический смысл теоремы Ролля: Þ Ккас=0 Þ касательная в точке c параллельна оси ОX.
Теорема Лагранжа. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка cÎ(a;b), значение производной в которой равно. Доказательство: Введем вспомогательную функцию. Эта функция непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций .
Þ существует точка сÎ(a;b) такая, что. .
Ч.т.д. Геометрический смысл теоремы Лагранжа:
. Существует точка cÎ(a;b), в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, соединяющей граничные точки: . Найдется такая точка на графике, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы отрезка [a;b].
Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b), причем производная функции g(x) отлична от нуля, g¢(x)¹0. Тогда существует такая точка cÎ(a;b), для которой выполняется равенство:. Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию: . непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.
Þ существует точка сÎ(a;b):. ;. . . Ч.т.д.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 679; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |