Трехмерное преобразование и проекции

Двухмерное смещение и однородные координаты.

Изменение масштаба.

С помощью соответственной матричной операции над векторами положения, которая определяет вершину, можно управление формой и положением поверхностей, однако для получения желаемой ориентации может потребоваться более одного преобразования, поскольку матричной преобразование не коммутативно, что порядок преобразования является важным, при использовании операций.

Произвольная матрица вращения 2*2.

Общая матрица 2*2, которая осуществляет вращение фигуры, относительно начала координат, можно получить из рассмотренного вращения единичного квадрата вокруг начала координат.

Как следует из рисунка точка В с координатой (1;0) преобразуется в точкуB*

точка D, имеющих координат (0;1) преобразуется в D*

Учитывающиеся полученные преобразования общую матрицу вращения можно записать:

До сих пор не обсуждалось смещение на плоскости точек и линий, это обусловлено тем, что вводить константу переноса внутрь структуры общей матрицы размера 2*2 не представленным возможным. Отметим, что эту трудность можно устроить за счет введения третьей компоненты в векторных точек.

В результате матрица преобразованная становиться размера 3*2 и имеет вид:

Это необходимо, поскольку число столбцов в матрице, описывающую точку должно равняться числу строк в матрице, преобразованной для выполнения операций перемноженной матрицы.

Отсюда видно, что константы m и n вызывают смещение в точке, относительно точки х с координатами (x,y). Поскольку матрица 3*2 не является квадратной, она не имеет обратной матрицы. Эту трудность можно обойти, заполнив матрицу преобразований до квадратной матрицы 3*3.

Например:

Заметим, что третья компонента векторов положения точек не изменяет, а использует эту матрицу преобразования, получим преобразованный вектор [x*y*1].

Добавление третьего элемента к вектору положения и третьего столбца смещения вектора положения, третий элемент можно рассматривать, как дополнительную координату вектора.

Вектор положения [xy 1],привоздействие на него матрицы 3*3 в общем случае может иметь вид:

[XYH]

Преобразование имеет место в трехмерном пространстве, и в нашем случае Н=1.

Если третий столбец в общем случае отличен от матрицы преобразования, то в результате преобразований точки [xy 1], мы получим [XYH], где Н отличное от 1.

Плоскость, в которой лежит преобразованный вектор, лежит в трехмерном пространстве.

Для того, чтобы получить обратное действие, то есть:

Введем снова однородные координаты. Точка в трехмерном пространстве X,Y,Z представляется в четырехмерном пространстве векторами X,Y,Z,H (x,y,z,1).

Преобразование из однородных координат описывается:

где Т – некоторая матрица преобразований, обобщенная матрица преобразований 4*4 однородных координат, имеющая вид:

Рассмотрим частные действия для данного четырехмерного преобразования.

Дата добавления: 2014-01-04