Пример 1. П.3. Интеграл Фурье в комплексной форме

Свойство 3.

Следствие

Теорема 1.

П.3. Интеграл Фурье в комплексной форме

П.2 Сходимость интеграла Фурье

Интеграл Фурье

П.1 Определение

Интеграл Фурье

Свойства

П.2 Бета-функция Эйлера

Основное соотношение для гамма-функции

П.1 Гамма-функция Эйлера

Эйлеровы интегралы

Определение:.

Особые точки 0 и 1:.

Пусть.

Тогда - сходится.

При - сходится.

Так как оба интеграла сходятся равномерно на любом, то - непрерывна на.

- сходится равномерно, так как не испортит сходимость.

- график имеет выпуклость вниз при.

Пусть, тогда:,

Пусть:, тогда. Т.е. при.

Доопределим гамма-функцию для нецелых отрицательных значений аргумента исходя из основного соотношения.

Пусть: и непрерывна.

При

- сходятся при

1)

∎

2)

(замена во 2-ом интеграле)

∎

3) при:,.

□Имеем. Вспомним сумму прогрессии

Рассмотрим при.

Вспомним разложение.

Тогда при имеем

■ 4)

□ Рассмотрим

Следствия:

1) Формула дополнения. Для

2)При

Пусть абсолютно интегрируема на, т.е. - интеграл Римана и и

Рассмотрим. Эти интегралы сходятся равномерно, т.к..

Или

и непрерывны на

Лемма 1.

⧠ ∎

Лемма 2. Пусть f(x) – абсолютно интегрируема на (0, а) и в (.) х=0 удовлетворяет условию Гельдера (справа). Тогда

⧠

∎

Лемма 3. Пусть - абсолютно интегрируема на, в (.) удовлетворяет условию Гельдера. Тогда

⧠ ∎

Теорема. Пусть абсолютно интегрируема на, в (.) удовлетворяет условию Гельдера. Тогда.

⧠

∎

Вспомним понятие интеграла в смысле главного значения:.

Если существует несобственный интеграл, то он совпадает с интегралом в смысле главного значения, но из существования интеграла в смысле главного значения сходимость несобственного интеграла не следует, например,, но интеграл расходится.

Если - нечетная, то.

Обозначим - нечетная функция. Тогда имеем

Получили интеграл Фурье для функции в комплексной форме. Сохраняется, если значения f(x) комплексные.

§5. Преобразования Фурье

Пусть (или)

Если абсолютно интегрируема на, то и.

Обратное преобразование Фурье:

Свойство 1. Если - абсолютно интегрируема на, то - ограничена и непрерывна на.

Так как и - непрерывны (как коэффициенты Фурье) то

- непрерывна на то есть непрерывны и.∎

Свойство 2. Если - абсолютно интегрируема и дифференцируема на, тогда

∎

Пусть - непрерывна, абсолютно интегрируема на, кусочно-гладкая на - абсолютно интегрируема на. Тогда

докажем, что:

Если, то не существует противоречие.

, так как ∎

Теорема 2. Пусть - непрерывны и абсолютно интегрируемы на, тогда - непрерывно дифференцируема на и

∎

Сверткой функций называется

∎

Пример 2. Уравнение теплопроводности.

.

Глава 3. Основы теории меры и интеграла Лебега

Пример множества, неизмеримого по Жордану

Пусть. Возьмем точку с рациональными координатами. Построим круг - лежащий в с центром в точке и радиусом. Теперь возьмем точку, имеет рациональные координаты. Построим круг с центром в точке и радиусом. И так далее... Пусть имеет рациональные координаты. Круг,.

Тогда множество - неизмеримо по Жордану.

Но было бы логично приписать ему меру - сходится.

Дата добавления: 2014-01-04