Системы множеств

Вспомним некоторые формулы, связанные с симметрической разностью множеств:

, где - дополнение.

Определение 1. Непустая система множеств называется кольцом, если вместе с любыми двумя множествами она содержит их пересечение и симметрическую разность, т.е. и.

Условие равносильно условию. Это следует из формул, написанных выше и. Таким образом, в определении кольца вместо можно взять. Т.е. кольцо - это система множеств, замкнутая относительно операций пересечения, объединения, разности и симметрической разности двух (и любого конечного числа) множеств.

· Если кольцо содержит хотя бы одно ненулевое множество, то. (Если)

· Пересечение любого числа колец является кольцом.

Примеры колец:

1. Множество ограниченных множеств из.

2. Множество измеримых по Жордану множеств.

3. Множество всех подмножеств множества. Например, для имеем.

Любую систему множеств, не являющуюся кольцом, можно дополнить до кольца.

Определение 2. Пусть - система множеств,. Кольцо и такое, что содержится в любом кольце, содержащем, называется минимальным кольцом над или кольцом порожденным.

Примеры:

1..

Тогда

2. - множество всех промежутков на прямой, не является кольцом. Тогда - множество, состоящее из всевозможных конечных объединений промежутков.

Теорема 1. Для любой непустой системы множеств существует и единственно минимальное кольцо.

Существование докажем построением. Пусть - система всех подмножеств множества. Пусть - множество всех колец в и содержащих. Тогда - искомое минимальное кольцо над.

Единственность очевидна, т.к. если бы минимальных кольца было два, то их объединение также было бы искомым кольцом. ■

Определение 3. Множество называется единицей системы, если.

Определение 4. Кольцо с единицей называется алгеброй множеств.

Если - алгебра, то, т.е. алгебра множеств замкнута по отношению с дополнению.

Примеры:

1. - алгебра с единицей А.

2. - множество всех подмножеств А – алгебра с единицей А.

3. Система всех конечных подмножеств множества А – кольцо, но алгебра только если А – конечно.

4. В множество всех клеточных множеств лежащих внутри - алгебра с единицей.

Определение 5. Система множеств называется полукольцом если:

1.

2.

3.

Примеры:

1. - полукольцо.

2. В множество всех прямоугольников образуют полукольцо.

На полукольце минимальное кольцо строится просто:.

Определение 6. Кольцо множеств называется -кольцом, если:. Кольцо множеств называется -кольцом, если:.

-алгеброй называется -кольцо с единицей.

-алгеброй называется -кольцо с единицей.

Замечание: понятия -алгебры и -алгебры равнозначны.

, ■

Примеры:

1. - -алгебра.

2. Множество клеточных множеств внутри прямоугольника не является -алгеброй.

Определение. Минимальной алгеброй (-алгеброй) над называется алгебра (-алгебра) и содержащаяся в алгебре (-алгебре), содержащей.

Определение. Пусть -множество всех отрезков. Борелевским множеством называется элемент борелевской - алгебры, т.е. минимальной -алгебры над.

§2 Классическая мера Лебега

Дата добавления: 2014-01-04