Принцип аргумента

Частотные критерии устойчивости

Вопросы

1. Что понимают под устойчивостью САУ в малом и в большом?
2. Какой вид имеет решение уравнения динамики САУ?
3. Как найти вынужденную составляющую решения уравнения динамики САУ?
4. Какой вид имеет свободная составляющая решения уравнения динамики САУ?
5. Что такое характеристическое уравнение?
6. Какой вид имеют корни характеристического уравнения?
7. Чем отличаются правые и левые корни характеристического уравнения?
8. Сформулируйте условие устойчивости систем по Ляпунову.
9. Что такое граница устойчивости?
10. Что такое критерии устойчивости?
11. Сформулируйте необходимое условие устойчивости САУ.
12. Сформулируйте критерий Рауса.
13. Сформулируйте критерий Гурвица.
14. В чем достоинства и недостатки алгебраических критериев устойчивости?

Это графоаналитические методы, позволяющие по виду частотных характеристик САУ судить об их устойчивости. Их общее достоинство в простой геометрической интерпретации, наглядности и в отсутствии ограничений на порядок дифференциального уравнения.

Запишем характеристический полином САУ в виде

D(p) = a₀(p - p₁)(p - p₂)...(p - p_n) = 0.

Его корни

p_i = _i + ji = |p_i|e^jarg(pi),

где arg(p_i) = arctg(i/a_i) + k,

.

Каждый корень можно изобразить вектором на комплексной плоскости (рис.68а), тогда разность p - p_i изобразится разностью векторов (рис.68б), где p - любое число.

Еcли менять значение p произвольным образом, то конец вектора p - p_i будет перемещаться по комплексно плоскости, а его начало будет оставаться неподвижным, так как p_i - это конкретное неизменное значение.

В частном случае, если на вход системы подавать гармонические колебания с различной частотой , то p = j, а характеристический полином принимает вид:

D(j) = a₀(j - p₁)(j - p₂)...(j - p_n).

При этом концы векторов j - p_i будут находиться на мнимой оси (рис.68в). Если менять от - до + , то каждый вектор j - p_i будет поворачиваться относительно своего начала p_i на угол +p для левых и - p для правых корней (рис.68г).

Характеристический полином можно представить в виде

D(j) = |D(j)|e^jarg(D(j)),

где |D(j)| = a₀|j - p₁||j - p₂|...|j - p_n|,

arg(D(j)) = arg(j - p₁) + arg(j - p₂) +.. + arg(j - p_n).

Пусть из n корней m - правые, а n - m - левые, тогда угол поворота вектора D(j) при изменении от - до + равен

= (n - m) - m,

или при изменении от 0 до + получаем

= (n - 2m)(/2).

Отсюда вытекает правило: изменение аргумента вектора b при изменении частоты от - до + равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(p) = 0, умноженному на , а при изменении частоты от 0 до + эта разность умножается на /2.

Это и есть принцип аргумента. Он положен в основе всех частотных критериев устойчивости. Мы рассмотрим два наиболее распространенных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

Дата добавления: 2014-01-04