Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение функции многих переменных. Вещественная функция




План

Лекция 21. Предел функции многих переменных

Властивості замкнених множин у просторі

Гранична точка множини. Замкнені множини у просторі

Властивості відкритих множин

Теорема 1. Переріз будь-якого скінченного числа відкритих множин є відкритою множиною.

Доказ. Нехай - відкриті множини,. Покажемо, що - відкрита множина. Для цього візьмемо і покажемо, що ця точка є внутрішньою для:

.

 

Оскільки кожна множина відкрита, то для знайдеться відкрита куля. Позначимо. Тоді

 

 

 

Таким чином, є для цієї множини внутрішньою, а сама множина - відкритою.

Зауваження. Переріз нескінченного числа відкритих множин може і не бути відкритою множиною.

Приклад. Розглянемо нескінченну сукупність відкритих множин Для них. Множина, яка містить одну точку, не є відкритою.

Теорема 2. Обєднання будь-якого числа відкритих множин є відкритою множиною.

Доказ. Нехай - деяка множина індексів. Нехай для множина є відкритою. Розглянемо. Покажемо, що - відкрита. Для цього візьмемо і покажемо, що ця точка є внутрішньою для:

 

, що.

 

Оскільки - відкрита множина, то, тоді, а це означає, що - відкрита множина.

 

Визначення 7. Нехай множина. Точка називається граничною для множини, якщо будь-яка відкрита куля з центром в цій точці містить точки множини, які відрізняються від точки.

Визначення8. Відкрита куля з центром в точці називається околом точки.

Зауваження. Якщо точка є граничною для множини, то будь-який окіл цієї точки містить нескінченно багато точок з множини.

Зауваження. Якщо точка є внутрішньою для множини, то вона буде і граничною точкою цієї множини.

Визначення9. Множина називається замкненою, якщо вона містить в собі всі свої граничні точки.

Приклад. Множина є замкненою.

Приклад. Порожня множина і - замкнені множини.

Визначення10. Нехай множина. Доповнення до множини називається сукупність точок і одночасно не належать множині.

Теорема 3. Множина відкрита тоді і тільки тоді, коли її доповнення буде замкненим.

Теорема 4. Переріз будь-якого числа замкнених множин є замкненою множиною.

Доказ. Самостійно.

Теорема 5. Обєднання будь-якого скінченного числа замкнених множин є замкненою множиною.

Доказ. Самостійно.

Зауваження. Обєднання нескінченного числа замкнених множин може і не бути замкненою множиною.

Приклад. Розглянемо нескінченну сукупність замкнених множин Для них - відкрита множина.

 

  1. Определение функции многих переменных. Вещественная функция
  2. Определение предела функции многих переменных
  3. Предел функции и арифметические операции над функциями

 

Пусть даны два множества:. Пусть есть закон, который ставит в соответствие некоторый. В этом случае говорят, что на определена функция, которая действует в, и обозначают

.

 

Тут - область определения функции, а ее область значений находится во множестве. Множество называют образом множества при отображении и обозначают.

Пусть дано множество. Тогда множество всех таких, что называется прообразом множества при отображении.

Рассмотрим функции, которые определены на некоторых множествах пространства со значениями в пространстве:

. (10)

 

Если

, (15)

 

то такая функция называется вещественной, или действительной.

Рассмотрим функцию вида (10). Если, то имеет вид:. В соответствии с (10) можно представить как, где, - вещественные функции. Таким образом, каждая функция (10) порождает вещественных функций.

Пример. Определим совокупность функций, что действуют для любого аргумента следующим образом:. Областью определения функций является все пространство, область значений -.

Пример. Найти область определения для функции. Поскольку функция определена для аргументов, значения которых находятся на сегменте, то

.

 

Таким образом, геометрически область определения функции - это такое множество точек, которое представлено на рис.1.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 534; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.