Связь между полной и частными производными

Определение частной производной функции многих переменных

План

Лекция 25. Частная производная функции многих переменных

Питання

Найпростіші властивості диференційованих функцій

Теорема 1. Нехай, - відкрита множина, функція диференційована в точці. Тоді неперервна в точці.

Теорема 2. Якщо, диференційована в точці, то її похідна визначається однозначно.

Приклад. Нехай, тобто. Доведемо, що ця функція диференційована в будь-якій точці і знайдемо цю похідну. Нехай приріст для визначається як.

.

Для доведення диференційованості функції залишилося перевірити, що:

,

що й потрібно було довести. Таким чином

.

Приклад. Нехай, тобто. Доведемо, що ця функція диференційована в будь-якій точці і знайдемо цю похідну. Нехай приріст для визначається як.

.

Для доведення диференційованості функції залишилося перевірити, що.

що й потрібно було довести. Таким чином

.

1. Визначення похідної функції багатьох змінних. Аналогія та різниця між похідними функцій одної змінної, багатьох змінних.

2. Визначення афінного відображення.

3. Як представляется функція багатьох змінних в околі точки диференціювання.

4. Як повязані між собою диференційованість і неперервність в точці для функції багатьох змінних?

5. Скільки похідних в точці може мати функція багатьох змінних?

1. Определение частной производной функции многих переменных
2. Связь между полной и частными производными
3. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных
4. Производная по направлению
5. Градиент функции многих переменных

Пусть, - открытое множество, - стандартный базис в. Точка,.

Определение 1. Частной производной функции по переменной, или i -ой частной производной в точке, называется

,

если он существует.

Частная производная функции по переменной в точке обозначается: или.

Пусть. Поскольку, то. Тогда

. (10)

Из формулы (10) понятно, что частная производная функции многих переменных - это обычная производная функции одной переменной (все другие переменные зафиксированы):. Т.е.

.

Пример. Пусть. Эта функция будет иметь две частные производные (по каждой своей переменной):

,.

Частная производная описывает поведение функции многих переменных, когда все переменные, кроме одной, остаются постоянными.

Теорема 1. Пусть, - открытое множество. Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке у нее существуют все частные производные.

Доказательство. Поскольку функция дифференцируема в точке, то согласно формуле (40) предыдущей лекции для нее имеет место формула:

,

где. Если,, то, где.

Пусть.

. (20)

Из (20), учитывая линейность формы, вытекает эквивалентное равенство:

. (30)

Поделим обе части равенства (30) на:

. (40)

Перейдем к пределу в равенстве (40), когда:

,

что и нужно было доказать.

Пусть функция дифференцируема в точке. Возьмем.

.

Учитывая линейность линейной формы, имеем:

.

Подставляем (50) в предыдущую формулу и, вспоминая определение функций, получаем:

.

Таким образом, линейная форма имеет вид:

, (55)

т.е. имеет место следующее утверждение:

Утверждение 1. Если функция дифференцируема в точке, то у нее существуют все частные производные в точке, которые являются координатами ее полной производной в базисе, сопряженном к стандартному базису пространства.

Дата добавления: 2014-01-04