Зв’язок між повною і частинними похідними

Визначення частинної похідної функції багатьох змінних

План

Лекція 25. Частинна похідна функції багатьох змінних

Вопросы

1. Определение частной производной функции.

2. Какое поведение функции многих переменных описывает частная производная?

3. Как связано существование производной функции многих переменных в точке с существованием частных производных функции в этой точке?

4. Чем являются частные производные в точке функции для ее полной производной?

5. Что можно сказать о дифференцируемости функции в данной точке, если в этой точке она имеет все частные производные?

6. Что означает, что?

7. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных.

8. Определение производной функции в точке по направлению.

9. Как связаны между собой дифференцируемость функции в точке и существовании в этой точке производных по разным направлениям?

10. Выражения для вычисления производной по направлению.

11. Определение градиента функции.

1. Визначення частинної похідної функції багатьох змінних
2. Зв’язок між повною і частинними похідними
3. Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних
4. Похідна за напрямом
5. Градієнт функції багатьох змінних

Нехай, - відкрита множина, - стандартний базис в. Точка,.

Визначення 1. Частинною похідною функції по змінній, чи i -ою частинною похідною в точці, називається

,

якщо вона існує.

Частинна похідною функції по змінній в точці позначається: чи.

Нехай. Оскільки, то. Тоді

. (10)

З формули (10) зрозуміло, що частинна похідна функції багатьох змінних – це звичайна похідна функції одної змінної (всі інші змінні зафіксовані):. Тобто

.

Приклад. Нехай. Ця функція буде мати дві частинні похідні (по кожній своїй змінній):

,.

Частинна похідна описує поведінку функції багатьох змінних, коли всі змінні, крім одної. Залишаються сталими.

Теорема 1. Нехай, - відкрита множина. Якщо функція диференційована у точці, то в цій точці у неї існують всі частинні похідні.

Доказ. Оскільки функція диференційована у точці, то відповідно до формули (40) попередньої лекції для неї має місце формула:

,

де. Якщо,, то, де.

Нехай.

. (20)

З (20), враховуючи лінійність форми, витікає еквівалентна рівність:

. (30)

Поділимо обидві частини рівності (30) на:

. (40)

Перейдемо до границі в рівності (40), коли:

,

що й потрібно було довести.

Нехай функція диференційована у точці. Візьмемо.

.

Враховуючи лінійність лінійної форми, маємо:

.

Підставляємо (50) в попередню формулу і, пригадуючи визначення функцій, отримуємо:

.

Таким чином, лінійна форма має вигляд:

, (55)

тобто має місце наступне твердження:

Твердження 1. Якщо функція диференційована у точці, то в неї існують всі частинні похідні в точці, які є координатами її повної похідної у базису, спряженому до стандартного базиса простору.

Дата добавления: 2014-01-04