Градієнт функції багатьох змінних

Похідна за напрямом

Достатня умова диференційованості функції багатьох змінних

Зауваження. Функція може мати всі частинні похідні у поданій точці, але бути недиференційованою в цій точці.

Приклад.. За визначенням частинної похідної:

,

.

Таким чином, обидві частинні похідні в точці існують. Покажимо, що подана функція не буде диференційованою в точці. Якщо припустити, що диференційована в, а вектор, то вона повинна представлятися у вигляді:

Для того, щоб мала місце попередня формула, тобто, щоб, коли, треба, щоб

. (60)

Перевіримо це. Для цього визначимо множину і обчислимо границю (60) по цій множині:

.

Таким чином, формула (60) не має місця,, коли, а подана функція не є диференційованою в точці, хоча і має в цій точці всі частинні похідні.

Нехай, - відкрита множина. Припустимо, що в кожній точці існує. Тоді на множині визначена дійсна функція:

,.

Визначення 2. Якщо функція, - відкрита множина, має в кожній точці множини всі частинні похідні, неперервні скрізь на, то кажуть, що функція належить класу і позначають:.

Визначення 3. Нехай функція диференційована в кожній точці множини. Тоді кажуть, що диференційована на множині.

Теорема 2 (достатня умова диференційованості функції багатьох змінних). Нехай функція, - відкрита множина,, тоді вона диференційована на.

Зауваження. Неперервність усіх частинних похідних функції на множині не є необхідною умовою диференційованості функції на множині.

Нехай, - відкрита множина,,,,.

Визначення 4. Похідною функції в точці за напрямом називається

якщо ця границя існує, і позначається.

Похідна функції в точці за напрямом - це число. Якщо, похідна за напрямом - це частинна похідна.

Теорема 3. Нехай диференційована в точці. Тоді для будь-якого вектора, існує і

, (70)

Тобто значення - це значення похідної функції на векторі.

Нехай. Формула (70), враховуючи (55), може бути детальніше записана у вигляді:

= =

= (75)

Доказ. Оскільки функція диференційована в точці, то має місце рівність:

.

Нехай,,. Тоді, а попередня формула буде мати вид:

. (80)

Розділимо останню формулу на і перейдемо в отриманій рівності до границі при:

,

що й потрібно було довести.

Визначення 5. Нехай функція, - відкрита множина, диференційована в точці. Градієнтом функції в точці називається вектор

.

Користуючись поняттям градієнта функції, формулу (75 можна записати у вигляді:

=,

де - скалярний добуток векторів.

,

Тобто

. (90)

З (90) втікає, що по будь-якому напрямку похідна функції в точці – швидкість зміни функції в точці - не перевищує.

Розглянемо вектор - нормований вектор градієнта. Обчислимо похідну функції в точці за напрямом вектора градієнта:

Таким чином, градієнт – це вектор, за напрямом якого функція має найбільшу швидкість зростання.

Дата добавления: 2014-01-04