Теорема о сингулярном разложении матрицы

Чувствительность собственных значений (сингулярных чисел) и собственных векторов (сингулярных векторов) к возмущающим воздействиям

Связь между сингулярным и спектральным разложениями матрицы.

Теорема о сингулярном разложении матрицы.

Лекция 27. Сингулярное разложение матрицы

Питання

Достатня умова рівності мішаних похідних

Визначення частинної похідної -го порядкуфункції багатьох змінних. Поняття мішаної похідної

Зв’язок між неперервністю і диференційованістю вектор-функції

Поняття вектор-функції. Похідна вектор-функції

План

Лекція 26. Похідні вищого порядку функції багатьох змінних

1. Поняття вектор-функції. Похідна вектор-функції
2. Зв’язок між неперервністю і диференційованістю вектор-функції
3. Визначення частинної похідної -го порядкуфункції багатьох змінних. Поняття мішаної похідної
4. Достатня умова рівності мішаних похідних

Розглядається функція

,

де.

Визначення 1. Похідною функції в точці називається

. (1)

З визначення 1 витікає, що

. (2)

З (2) витікає, що якщо функція має похідну в точці, вона неперервна в цій точці. Дійсно, формула (2) еквівалентна формулі:

(3)

Перейдемо до границі в (3), коли:

,

що говоре про неперервність функції в точці.

Нехай,..., - стандартній базис. Значення функції належать простору, тобто

, (3)

де

,

Тобто це звичайні функції одної змінної.

Користуючись (3), знайдемо похідну в точці. Для цього:

.

Перейдемо до границі в останній рівності, коли:

Таким чином, похідна вектор-функції однієї змінної – це вектор, координатами якого є похідні координат поданого вектора.

Нехай, - відкрита. Нехай скрізь на множині у існує. Ця похідна також є функцією:

.

Може статися, що має в деякій точці частинну похідну по. Тоді цю частинну похідну називають похідною другого порядка від функції по змінним, в точці і позначають:

.

По індукції можна визначити частинну похідну від функції го порядку по змінним, яку позначають:

.

Якщо серед індексів є хоча б одна пара різних, то відповідна похідна називається мішаною.

Приклад. Нехай.

Теорема (достатня умова рівності мішаних похідних). Нехай, - відкрита. Нехай скрізь на множині у існують. Тоді у всіх точках, де вони неперервні, має місце рівність:

.

1. Що називається вектор-функцією одного аргумента? Навести приклади вектор-функцій.
2. Як визначається похідна вектор-функції?
3. Зв’язок між неперервністю і диференційованістю вектор-функції.
4. Що таке мішана похідна дійсної функції багатьох змінних?
5. Як визначається частинна похідна від функції го порядку по змінним?
6. Чи завжди мішані похідні другого порядку є рівними? Достатня умова рівності мішаних похідних.

Пусть — -матрица с элементами , (). Для нее справедливо разложение, называемое сингулярным:

, (1)

где ― матрицы размерности и соответственно,, , при этом являются ортогональными, т.е. удовлетворяют соотношениям: , где ― единичная матрица соответствующей размерности. Столбцы матрицы и матрицы называют соответственно левыми и правыми сингулярными векторами (СНВ) матрицы , величины ― сингулярными числами (СНЧ), а сингулярными тройками . При рассматривается сингулярное разложение матрицы .

Разложение (1) может быть представленно в форме внешних произведений:

.

В общем случае сингулярное (спектральное) разложение матрицы определяется неоднозначно. Вспомним, что вектор называется лексикографически положительным, если его первая ненулевая компонента положительна. Назовем сингулярное разложение (1) нормальным, если столбцы матрицы лексикографически положительны.

Теорема. Невырожденная матрица имеет единственное нормальное сингулярное разложение, если ее СНЧ попарно различны:

.

Дата добавления: 2014-01-04