Перша ознака порівняння збіжності рядів в формі нерівностей

План

Лекція 29. Ряди з додатними членами

1. Перша ознака порівняння збіжності рядів в формі нерівностей
2. Перша ознака порівняння в граничній формі
3. Друга ознака збіжності рядів
4. Ознаки Коші та Даламбера збіжності рядів з додатними членами
5. Інтегральна ознака Коші-Маклорена

Далі розглядаються ряди з додатними членами:

(1)

Нехай - послідовність зрізаних сум ряда. Оскільки (1) – це ряд з додатними членами, то послідовність є монотонно зростаюча, а тому вона буде збіжною тоді і тільки тоді, коли буде обмеженою зверху. З цього витікає

Теорема 1 (критерій збіжності рядів з додатними членами). Для того, щоб ряд (1) з додатними членами збігався, необхідно і достатньо, щоб послідовність зрізаних сум цього ряду була обмеженою зверху.

Теорема 2 (перша ознака порівняння в формі нерівностей). Нехай є два ряди (позначимо їх і) з додатними членами:

, (5)

(7)

Якщо, починаючи з деякого номера для виконується нерівність:

(10)

то:

1) Із збіжності ряда випливає збіжність ряда;

2) Із розбіжності ряда випливає розбіжність ряда.

Доказ. В умові теореми сказано, що нерівність (10) для елементів рядів і виконується, починаючи з деякого номера, але, враховуючи те, що збіжність (розбіжність) ряду залишається, якщо з нього усунути скінченну кількість елементів, можна вважати, що нерівність (10) виконується для.

Нехай - послідовність зрізаних сум ряда; - послідовність зрізаних сум ряда.

1) Нехай ряд збігається. З попередньої теореми витікає, що тоді обмежена зверху, тобто існує така стала, що:. Враховуючи нерівність (10), маємо:

для,

тобто послідовність зрізаних сум ряда також є обмеженою зверху, а тому ряд є збіжним.

2) Нехай ряд розбігається. Припустимо, що при цьому ряд є збіжним, тоді з доведеного в пункті 1) з цього припущення буде витікати, що - збіжний. Отримали суперечність, тому наше припущення є хибним, а ряд - розбіжним.

2.Перша ознака порівняння в граничній формі

Теорема 3 (перша ознака порівняння в граничній формі). Нехай є два ряди і з додатними членами. Нехай існує

(20)

тоді ряди і ведуть себе однаково, тобто чи одночасно збігаються, чи одночасно розбігаються.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд.

Побудуємо послідовність зрізаних сум цього ряду:

.

Оскільки,

то поданий ряд є розбіжним. Розбіжність цього ряду можна встановити ще одним способом, користуючись першою ознакою порівняння в граничній формі, що ми і зробимо. Ряд називається гармонічним рядом. Цей ряд є розбіжним (це буде доведено пізніше). Поданий ряд

.

Зберігаючи позначення, введені в теоремах 2,3:

;

.

Обчислимо

.

Таким чином, ряди і ведуть себе однаково, тобто розбігаються, оскільки про гармонічний ряд ми знаємо, що він розбіжний.

Дата добавления: 2014-01-04