Перестановка членов сходящегося ряда. Теоремы Римана, Коши

Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Связь между сходимостью и абсолютной сходимостью числового ряда

План

Лекция 30. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды

1. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Связь между сходимостью и абсолютной сходимостью числового ряда
2. Перестановка членов сходящегося ряда. Теоремы Римана, Коши
3. Сочетательное свойство сходящегося ряда
4. Ряд Лейбница

Пусть

(1)

- ряд с произвольными действительными членами.

Определение 1. Говорят, что ряд (1) сходится абсолютно, если сходится ряд

. (2)

Теорема 1. Из абсолютной сходимости ряда вытекает его сходимость.

Доказательство. Ряд (2) сходится. По критерию Коши сходимости ряда это означает, что

, что для:, т.е..

Для сходимости ряда (1) нужно, чтобы, что для выполнялось

.

Если взять, то

.

Ряд (1) сходится по критерию Коши.

Замечание. Если ряд сходится, из этого еще не вытекает, что он сходится абсолютно.

Определение 2. Говорят, что ряд (1) сходится условно, если он сходится, а соответствующий ему ряд из абсолютных значений расходится.

Замечание. Для того, чтобы установить абсолютную сходимость ряда (1), к ряду (2) с положительными членами возможно применить все признаки сходимости рядов с положительными членами. Но необходимо быть осторожным с признаком расходимости. Если даже ряд (2) расходится, ряд (1) может сходиться (условно). Исключениями являются только признака Коши и Даламбера, так как когда они констатируют расходимость ряда (2), это означает, что общий член ряда (2) не стремится к 0, а тогда к 0 не стремится и, поэтому ряд (1) расходится. Таким образом, признака Коши и Даламбера могут быть использованы для любого ряда.

Теорема 2. Сумма условно сходящегося ряда зависит от порядка его членов.

Для подтверждения этого рассмотрим пример. Ряд является условно сходящимся, так как ряд из абсолютных значений - это гармонический ряд, он расходится. Из сходимости ряда вытекает, что его последовательность усеченных сумм и все подпоследовательности этой последовательности являются сходящимися и стремятся к. Рассмотрим подпоследовательность элементов, которые имеют четные номера, последовательности:

.

.

Переставим элементы исходного ряда следующим образом:

(5)

Для полученного переставленного ряда (5) последовательность его усеченных сумм обозначим. Построим подпоследовательности последовательности усеченных сумм: (включает элементы из, которые имеют номера, кратные 3), (включает элементы из, номера которых имеют вид, т.е. 2,5,8,11,...), (включает элементы из, номера которых имеют вид, т.е. 1,4,7,...).

,.

.

Таким образом, после перестановки ряд действительно имеет другую сумму.

Теорема 3 (Римана). Если ряд (1) сходится условно, то которым бы не было число, ряд (1) возможно переставить так, чтобы полученный ряд сходился к.

Теорема 4 (Коши) (о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда). Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, сходится к тому же самому числу, что и исходный ряд, кроме того полученный ряд сходится абсолютно.

Дата добавления: 2014-01-04