Случай замкнутой кривой. Ориентация плоскости

План

Питання

1. Побудова інтегральної суми для криволінійного інтеграла І роду.
2. Визначення криволінійного інтеграла І роду.
3. Формула зведення криволінійного інтеграла І роду до інтеграла Римана у випадку, коли крива визначена параметрично.
4. Формула зведення криволінійного інтеграла І роду до інтеграла Римана у випадку, коли крива визначена звичайним способом.

1. Построение интегральной суммы для криволинейного интеграла ІІ рода
2. Определение и свойства криволинейного интеграла ІІ рода
3. Существование и вычисление криволинейного интеграла ІІ рода
4. Случай замкнутой кривой. Ориентация плоскости

1. Построение интегральной суммы для криволинейного интеграла ІІ рода

Пусть задана непрерывная кривая (которую мы для простоты сначала будем считать незамкнутой), и пусть вдоль нее определена некоторая функция. Разобьем кривую точками, на частичные дуги. На каждой дуге,, выберем произвольно точки. Вычислим в каждой точке значение функции, но эти значения будем множить не на длину соответствующей частичной дуги, а на значение проекции этой дуги на ось ОХ (рис.1), т.е. на

. (10)

Построим сумму, которую назовем интегральной суммой для криволинейного интеграла ІІ рода:

=. (20)

2. Определение и свойства криволинейного интеграла ІІ рода

Пусть

.

Если при сумма (20) имеет конечный предел

,

Который не зависит ни от способа разбиения на части, ни от выбора промежуточных точек, то этот предел называется криволинейным интегралом ІІ рода от по кривой и обозначается:

.

Аналогично, если умножить не на, а на и построить сумму

=,

то

даст нам криволинейный интеграл ІІ рода от:

.

Если вдоль кривой определены две функции и существуют:

,,

то их сумму называют криволинейным интегралом ІІ рода общего вида и обозначают:

.

Замечание. Значение криволинейного интеграла ІІ рода зависит от направления, которое выбрано на кривой:

,

,

и вдобавок из существования интеграла справа вытекает существование интеграла слева и наоборот.

Аналогично определяется криволинейный интеграл ІІ рода по кривой, которая находится не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

3. Существование и вычисление криволинейного интеграла ІІ рода

Пусть кривая задана параметрически:

, (25)

функции - непрерывные, при изменении параметра от до кривая определяется в направлении от до; и вдоль непрерывны.

Теорема. При сделанных предположениях криволинейный интеграл ІІ рода существует и

. (30)

Порядок расположения границ интегрирования отвечает выбранному на кривой направлению.

Доказательство. Пусть точки, определяются значениями параметра, а выбранные на дугах точки,, значениями параметра, которые обозначим через. Тогда интегральная сумма, если учитывать, что

,

может быть записана в виде:

. (40)

С другой стороны, интеграл в правой части (30) можно представить следующим образом:

. (50)

Тогда, учитывая (40),(50), получим:

(60)

Возьмем. Поскольку непрерывна на, то она равномерно непрерывна на, потому можно разбить на части так, чтобы на каждом частичном сегменте колебание функции были меньше. Функция непрерывна на, потому ограничена на, т.е. такая, что для. Тогда

(70)

Обозначим

,,

тогда из (70) вытекает, что

,

Что и нужно было доказать.

Аналогично, если кривая задана при помощи (25), функции - непрерывны, при изменении параметра от до кривая определяется в направлении от до; и вдоль непрерывны, то

.

Порядок расположения границ интегрирования отвечает выбранному на кривой направлению.

Если кривая задана при помощи (25), функции - непрерывны, при изменении параметра от до кривая определяется в направлении от до;,, вдоль непрерывны, то криволинейный интеграл ІІ рода общего вида вычисляется по формуле:

.

Пусть криволинейный интеграл ІІ рода берется по кривой, которая определяется при помощи уравнения

, (80)

тогда формула (30) принимает вид:

. (90)

Пример. Вычислить криволинейный интеграл ІІ рода, где задается следующим образом:, которая проходится от точки с абсцисой до точки с абсцисой.

Согласно формуле (90) имеем:

.

Замечание 1. Криволинейный интеграл ІІ рода, если кривая - это отрезок, параллельный оси ОУ (отрезок, параллельный оси ОХ).

Замечание 2. Пусть точка принадлежит кривой, тогда:

.

Пусть кривая замкнутая (рис.2). Выберем на этой кривой направление ее обхода. Точки. Тогда

Определение. Положительным направлением обхода замкнутой кривой считается то направление, при котором ближайшая к наблюдателю часть области, которая ограничена кривой, находится слева от наблюдателя (рис.2).

Дата добавления: 2014-01-04