Існування та обчислення криволінійного інтегралу ІІ роду

Визначення та властивості криволінійного інтегралу ІІ роду

Побудова інтегральної суми для криволінійного інтегралу ІІ роду

План

Лекція 42. Криволінійні інтеграли ІІ роду

Вопросы

1. Чем интегральная сумма для криволинейного интеграла ІІ рода отличается от интегральной суммы для криволинейного интеграла І рода?
2. Построение интегральной суммы для криволинейного интеграла ІІ рода.
3. Определение криволинейного интеграла ІІ рода.
4. Общий вид криволинейного интеграла ІІ рода.
5. Формулы вычисления криволинейного интеграла ІІ рода для разных способов задания кривой.

1. Побудова інтегральної суми для криволінійного інтегралу ІІ роду
2. Визначення та властивості криволінійного інтегралу ІІ роду
3. Існування та обчислення криволінійного інтегралу ІІ роду
4. Випадок замкненої кривої. Орієнтація площини

Нехай задана неперервна крива (яку ми для простоти спочатку припустимо незамкненою), і нехай вздовж неї визначена деяка функція. Розібємо криву точками, на часткові дуги. На кожній дузі,, оберемо довільно точки. Обчислимо в кожній точці значення функції, але ці значення будемо множити не на довжину відповідної часткової дуги, а на значення проекції цієї дуги на вісь ОХ (рис.1), тобто на

. (10)

Побудуємо суму, яку назвемо інтегральною сумою для криволінійного інтегралу ІІ роду:

=. (20)

Нехай

.

Якщо при сума (20) має скінченну границю

,

яка не залежить ні від способу розбивки на частки, ні від вибору проміжкових точок, то ця границя називається криволінійним інтегралом ІІ роду від по кривій і позначається:

.

Аналогічно, якщо помножити не на, а на і побудувати суму

=,

то

дасть нам криволінійний інтеграл ІІ роду від:

.

Якщо вздовж кривої визначені дві функції і існують:

,,

то їх суму називають криволінійним інтегралом ІІ роду загального виду і позначають:

.

Зауваження. Значенні криволінійного інтеграла ІІ роду залежить від напрямку, який обрано на кривій:

,

,

до того ж з існування інтеграла зправа витікає існування інтеграла зліва і навпаки.

Аналогічно визначається криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій, яка знаходиться не на площині, а в тривимірному просторі.

Нехай крива визначена параметрично:

, (25)

функції - неперервні, при зміні параметру від до крива визначається в напрямку від до; і вздовж неперервні.

Теорема. При зроблених припущеннях криволінійний інтеграл ІІ роду існує і

. (30)

Порядок розташування границь інтегрування відповідає обраному на кривій напрямку.

Доказ. Нехай точки, визначаються значеннями параметру, а обрані на дугах точки,, значеннями параметру, які позначимо через. Тоді інтегральна сума, якщо врахувати, що

,

може бути записана у вигляді:

. (40)

З іншого боку, інтеграл в (30) справа можна представити наступним чином:

. (50)

Тоді, враховуючи (40),(50), отримаємо:

(60)

Візмемо. Оскільки неперервна на, то вона рівномірно неперервна на, тому можна розбити на частки так, щоб на кожному частковому сегменті коливання функції були меньше за. Функція неперервна на, тому обмежена на, тобто така, що для. Тоді

(70)

Позначимо

,,

тоді з (70) витікає, що

,

що і треба було довести.

Аналогічно, якщо крива визначена за допомогою (25), функції - неперервні, при зміні параметру від до крива визначається в напрямку від до; і вздовж неперервні, то

.

Порядок розташування границь інтегрування відповідає обраному на кривій напрямку.

Якщо крива визначена за допомогою (25), функції - неперервні, при зміні параметру від до крива визначається в напрямку від до;, вздовж неперервні, то криволінійний інтеграл ІІ роду загального виду обчислюється за формулою:

.

Нехай криволінійний інтеграл ІІ роду береться по кривій, яка визначається за допомогою рівняння

, (80)

тоді формула (30) приймає вид:

. (90)

Приклад. Обчислити криволінійний інтеграл ІІ роду, де визначається наступним чином:, що проходиться від точки з абсцисою до точки з абсцисою.

Відповідно до формули (90) маємо:

.

Зауваження 1. Криволінійний інтеграл ІІ роду, якщо крива - це відрізок, паралельний осі ОУ (відрізок, паралельний осі ОХ).

Зауваження 2. Нехай точка належить кривій, тоді:

.

Дата добавления: 2014-01-04