Лекція 44. Подвійні інтеграли

План

Лекция 44. Двойные интегралы

Питання

Умови незалежності криволінійного інтегралу ІІ роду від шляху інтегрування. Ознака точного диференціалу

Нехай - деяка звязана область. Нехай на цій області визначені неперервні функції. Нехай і - дві довільні точки з області, - довільна крива, яка зєднує і і цілком знаходиться в.

Питання: Коли значення інтеграла

(60)

не залежить від форми шляху, тобто однозначно визначається тільки точками і?

Теорема. Для того, щоб інтеграл (60) не залежав від шляху інтегрування, необхідно і достатньо, щоб диференціальний вираз був в області диференціалом від деякої функції:

,

тобто.

Припустимо, що в області неперервні не тільки самі функції, а і. Якщо, тобто, то

.

Оскільки - неперервні, то неперервні і мішані похідні другого порядку, а тому, з чого витікає:

. (70)

Умова (70) – це необхідна умова того, щоб вираз був в області повним диференціалом. Можна показати, що (70) – це і достатня умова в випадку однозвязності. Таким чином, має місце наступна теорема.

Теорема. Для того, щоб криволінійний інтеграл ІІ роду (60), де б в області не були взяті точки і, не залежав від форми шляху, необхідно, а якщо - однозвязна обасть, і достатньо, щоб виконувалась умова (70).

1. Як обчислюється площа криволінійної трапеції за допомогою інтеграла Римана?
2. Яка криволінійна трапеція називається трапецією І типа (ІІ типа)?
3. Як обчислюється площа криволінійної трапеції І типу (ІІ типу) за допомогою криволінійного інтеграла ІІ роду?
4. Як обчислюється площа криволінійної трапеції, яка одночасно є трапецією І і ІІ типу, за допомогою криволінійного інтеграла ІІ роду?
5. Як обчислюється площа плоскої області, яка не є криволінійною трапецією?
6. Коли значення криволінійного інтеграла ІІ роду не залежить від шляху інтегрування?

1. Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла
2. Криволинейные трапеции первого и второго типа.
3. Сведение двойного интеграла к повторному

1. Построение интегральной суммы для двойного интеграла. Определение двойного интеграла

Пусть в области определена функция. Разобьем область кривыми на конечное количество частей,,...,, площади которых соответственно обозначим (рис.1). В каждой подобласти выберем произвольно точку, вычислим значение функции в этих точках. Сумму

будем называть интегральной суммой для в области.

Обозначим:

.

Рис.1.

Определение. Если существует, который не зависит ни от того, как область разбивалась на части, ни от того, как выбирались промежуточные точки, то этот предел называется двойным интегралом от функции в области и обозначается:

.

Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим тело, которое сверху ограниченно поверхностью, снизу - плоской фигурой, которая находится на координатной плоскости ХОУ, по бокам - цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ(рис.1). Тогда значение двойного интеграла - это объем тела (рис.1).

1. Сведение двойного интеграла к повторному

Пусть тело в трехмерном пространстве ограничено плоскостями. Предположим, что сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ, которая пересекает эту ось в точке с абсциссой (), имеет площадь. Тогда, как известно из темы «Применение интеграла Римана», объем тела будет вычисляться по формуле:

. (5)

Воспользуемся этой формулой для объема цилиндрического тела. Пусть сначала в его основе будет прямоугольник (рис.2). Сечение тела плоскостью является криволинейной трапецией,проекция которой на координатную плоскость - (рис.2). Площадь полученного сечения будет равняться:

. (10)

Формула (10) имеет место для любого, поэтому

. (20)

Подставляя (20) в (5), получим:

. (30)

Учитывая геометрический смысл двойного интеграла, из формулы (30) получим:

. (40)

Формула (40) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область.

Рис.2.

Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией І типа и ограничена кривыми

(рис.3). Этот случай отличается от предыдущего тем, что раньше для каждого фиксированного значения изменялись на, а теперь, поэтому

.

Тогда

. (50)

Формула (50) является формулой сведения двойного интеграла к повторному в случае, когда область является криволинейной трапецией І типа.

Пусть теперь область на ХОУ является криволинейной трапецией ІІ типа (рис.4), тогда имеет место следующая формула сведения двойного интеграла к повторному:

. (60)

Если область на ХОУ является одновременно как криволинейной трапецией І, так и ІІ типа, то для вычисления двойного интеграла можно пользоваться формулами (50), (60) и при этом:

. (70)

Формула (70) - это формула замены порядка интегрирования.

Дата добавления: 2014-01-04