Обчислення обєму тіла за допомогою поверхневого інтегралу

Обчислення поверхневого інтегралу ІІ типу

Визначення поверхневого інтегралу ІІ типу

План

Лекція 47. Поверхневі інтеграли ІІ типу

1. Визначення поверхневого інтегралу ІІ типу
2. Обчислення поверхневого інтегралу ІІ типу
3. Обчислення обєму тіла за допомогою поверхневого інтегралу

Нехай - двобічна поверхня, яка визначена явно рівнянням:

.

Зафіксуємо якийсь її бік. Оскільки поверхня задана явно, то це може бути нижня чи верхня сторона поверхні (рис.1).Оберемо верхню сторону. Тоді додатний напрямок обходу замкненої кривої на верхньому боці поверхні відповідає додатному напрямку обходу проекції на ХОУ. Така проекція буде розглядатися із знаком «+». Для нижньої сторони поверхні все буде навпаки: додатному напрямку обходу замкненої кривої поверхні відповідає відємний напрямок обходу проекції на ХОУ. Така проекція буде мати знак «-» (рис.1,2).

Нехай на визначена функція. Розібємо гладкими кривими на,,...,. На кожній частці оберемо довільно проміжкову точку. Побудуємо

,

де - площа проекції підповерхні з потрібним знаком, яка називається інтегральною сумою для поверхневого інтеграла ІІ типа.

Рис.1.

Позначимо

.

Визначення. Якщо існує

,

яка не залежить ні від того, як поверхня розбивалася на частки, ні від вибору проміжкових точок, то ця границя називається поверхневим інтегралом ІІ типу від по, який відповідає обраній стороні поверхні і позначається:

.

Зауваження. Якщо змінити сторону поверхні, інтеграл змінить знак.

Якщо при побудові інтегральної суми проекції будуються не на ХОУ, а на XOZ(YOZ), то отримаємо два інших поверхневих інтеграли ІІ типу:

().

Нехай на поверхні визначені функції,,. Тоді сума

Називається поверхневим інтегралом ІІ типу загального виду.

Рис.2.

Нехай поверхня визначена явно:. До того ж - неперервні в. Розглянемо, який береться по верхній стороні поверхні. Тоді в інтегральній сумі всі додатні:

. (1)

Права частина отриманої рівності – це інтегральна сума для подвійного інтегралу.

Якщо в рівності (1) перейти до границі, коли, то отримаємо:

,

до того ж існування одного з інтегралів веде до існування іншого.

Якщо поверхневий інтеграл обчислюється по нижній стороні поверхні, то

.

Зауваження. Якщо - частка циліндричної поверхні з твірною, паралельною осі OZ, то

.

Нехай тіло обмежено гладкими поверхнями:

і циліндричною поверхнею, твірна якої паралельна осі OZ(рис.3).

З геометричного змісту подвійного інтегралу витікає, що

,

де.

Отримана формула для обчислення обєма має місце для тіл, які можливо розбити на частки виду, представленого на рис.3 (циліндричні тіла І типу), за допомогою циліндричних поверхонь з твірною, паралельною осі OZ.

Рис.3.

Для циліндричніх тіл ІІ типу (ІІІ типу) з твірною, паралельною осі OХ (ОУ) мають місце формули для обчислення обєму:

.

Якщо тіло є одночасно циліндричним тілом І, ІІ і ІІІ типу, то для обчислення його обєму мають місце всі три формули. Якщо ці формули скласти почленно, отримаємо загальну формулу для обчислення обєму:

,

де інтеграл береться по зовнішній стороні поверхні.

Дата добавления: 2014-01-04