Вопросы. Определение ряда Фурье по ортогональной системе функций

Определение ряда Фурье по ортогональной системе функций

Тригонометрические системы ортогональных функций

Определение системы ортогональных функций. Система ортонормированных функций

Определение 3. Система функций из называется ортогональной, если

. (1)

Определение 4. Число

(2)

будем называть нормой элемента и обозначать.

Определение 5. Ортогональная система функций из называется ортонормальной, если для.

Замечание 1. Любую ортогональную систему можно сделать ортонормальной, разделив каждую функцию на ее норму.

Пример 1. Система функций

(3)

является ортогональной на. Для доказательства этого нужно проверить выполнение условия (1):

для;

для;

для;

; для;

для;

для;

.

Таким образом, представленная система (3) ортогональная.

Замечание 2. Рассмотренная система (3) будет ортогональной на любом промежутке длины.

Пример 2. Система функций

(4)

ортогональна на и на любом сегменте длины.

Пример 3. Система функций

и система функций

ортогональны на.

Пример 4. Система функций

и система функций

ортогональны на.

Системы примеров 1, 2 называются основными тригонометрическими системами.

Пусть и

, (5)

где - ортогональная система функций на. Предположим, что равенство (5) можно почленно интегрировать (это возможно, например, тогда, когда ряд в правой части равенства (5) сходится равномерно). Домножим (5) на и проинтегрируем:

(6)

Все интегралы в правой части последнего равенства равны 0, кроме -го, благодаря ортогональности системы функций. Тогда (6) можно записать в виде:

,

откуда

(7)

Чтобы определить по формуле (7) нет необходимости требовать почленного интегрирования ряда (5), достаточно, чтобы и были интегрируемы, а это действительно так, поскольку и.

Поэтому можно поставить в соответствие ряд

(8)

где определяются по формуле (7).

Ряд (8) называется рядом Фурье для по ортогональной системе

Запишем ряд Фурьє для по ортогональной системе функций

,

где

;

;

,.

1. Какая функция называется кусочно-непрерывной на? Привести примеры таких функций?

2. Как значение интеграла Римана от функции зависит от значения этой функции в конечном количестве точек?

3. Какие функции и называются эквивалентными на? Привести примеры эквивалентных функций.

4. Свойства отношения «~» для кусочно-непрерывных функций.

5. Какая система функций из называется ортогональной?

6. Что называется нормой?

7. Какая ортогональная система функций з называется ортонормальной?

8. Как ортогональную систему можно сделать ортонормальной?

9. Какие системы функций называются основными тригонометрическими системами?

10. Что называется рядом Фурье для по ортогональной системе?

Дата добавления: 2014-01-04