Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вопросы. Определение квадратичного отклонения и его свойства




Неравенство Бесселя

Тождество Бесселя

Определение квадратичного отклонения и его свойства. Многочлен по ортогональной системе

План

Питання

1. Яка функція називається кусково-неперервною на? Навести приклади таких функцій?

2. Як значення інтегралу Римана від функції залежить від значення цієї функції в скінченній кількості точок?

3. Які функції і називаються еквівалентними на? Навести приклади еквівалентних функцій.

4. Властивості відношення «~» для кусково-неперервних функцій.

5. Яка система функцій з називається ортогональною?

6. Що називається нормою?

7. Яка ортогональна система функцій з називається ортонормальною?

8. Як ортогональну систему можливо зробити ортонормальною?

9. Які системи функцій називаються основними тригонометричними системами?

10. Що називається рядом Фурьє для по ортогональній системі?

  1. Определение квадратичного отклонения и его свойства. Многочлен по ортогональной системе
  2. Тождество Бесселя
  3. Неравенство Бесселя

 

Пусть функции и из пространства.

Определение 1. Число

 

 

называется квадратичным отклонением функции от функции.

Квадратичное отклонение - это аналог расстояния в пространстве.

Свойства квадратичного отклонения:

1) Для любых функций:;

2) ~ (т.е. разность - лишь в конечном количестве точек).

Понятие квадратичного отклонения можно ввести для любых функций, квадрат разности которых будет интегрируем.

Пусть - ортогональная система,.

Определение 2. Функция

 

 

 

называется многочленом по ортогональной системе

 

Задача. Пусть, - ортогональная система функций в. Необходимо выяснить, при каких значениях квадратичное отклонение

 

 

 

будет наименьшим.

Для решения поставленной задачи удобнее рассматривать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из последнего равенства понятно, что минимум квадратичного отклонения имеем тогда, когда. Тогда

 

. (1)

Определение 3. Многочлен

 

,

 

где (т.е. определяются по формуле (7) лекции 50),, называется многочленом Фурье по ортогональной системе.

Вывод. Наименьшее квадратичное отклонение функция имеет от многочлена Фурье.

Равенство (1) называется тождеством Бесселя.

 

Левая часть в равенстве (1) неотрицательная, поэтому неотрицательной будет и правая часть:

,

 

Тогда

. (2)

Левая часть последнего неравенства - это n -ая усеченная сумма числового ряда с положительными членами. Неравенство (2) говорит об ограниченности сверху всей последовательности усеченных сумм ряда, т.е. о его сходимости. Тогда если перейти к пределу в неравенстве (2) при, получим:

 

 

 

- неравенство Бесселя.

 

1. Определение квадратичного отклонения между функциями.

2. Свойства квадратичного отклонения между функциями.

3. Какая функция называется многочленом по ортогональной системе?

4. Сформулировать задачу о наименьшем квадратичном отклонении.

5. Какая функция называется многочленом Фурье по ортогональной системе?

6. Вывести тождество Бесселя.

7. Вывести неравенство Бесселя.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 716; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.