Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Расчет количества теплоты и энтропия

Внешние воздействия (функции процесса).

Дифференциальные соотношения термодинамики.

 

Каждое из четырех дифференциальных выражений может служить для вывода связи параметров состояния. Эти связи в термодинамике называются «Уравнениями Максвелла» или дифференциальными соотношениями. Действительно, если u = u(s,v), то

 

du = (∂u/∂s)vds + (∂u/∂v)sdv и du = Tds – pdv.

 

Отсюда: T = (∂u/∂s)v и -p = (∂u/∂v)s.

 

В математическом анализе существует теорема о равенстве вторых смешанных производных. Тогда

 

2u/∂s∂v = ∂2u/∂v∂s → (∂T/∂v)s = -(∂p/∂s)v. (2.8)

 

Это уравнение связи четырех термодинамических параметров в технике или в природе и характеризует количественно равенство двух совершенно разных физических эффектов: изменение температуры Т при изменении удельного объема v в адиабатно-изоэнтропийном процессе численно такое же, как изменение давления p при изменении энтропии s (т.е. при равновесном теплообмене) в изохорном процессе. Получить такую взаимосвязь иным, т. е. не термодинамическим, способом в принципе невозможно.

Предлагаем студентам для тренировки самостоятельно вывести еще 3 дифференциальных соотношения из выражений для dh, df, dg.

 

По существу, единственная содержательная суть термодинамики – это первый закон термодинамики + диффсоотношения! А где она применяется (техника, химия, электро-магнитные процессы, коммерческие фирмы, коммерческие банки и т.д.) – дело прикладников термодинамики.

 

 

Если справедливо (2.3), то для замкнутого контура процессов (цикла)

 

,

 

т.е. сумма внешних теплот за цикл равна сумме внешних работ, а это может быть не только при нулевых слагаемых справа. Рассмотрим рис.2.3 и прейдем к процессам 1 – а – 2 и 2 – в – 1:

Рис. 2.3. Иллюстрация неполноты дифференциалов dq и dw.

 

;

 

. (2.8)

 

Здесь просто интеграл по замкнутому контуру разбили на два обычных интеграла: сначала интегрируем от точки 1 к точке 2 по траектории «а», потом обратно от точки 2 к точке 1 по траектории «в». И провели изменение направления интегрирования во втором интеграле. Из математического анализа известно, что геометрический смысл определенного интеграла от любой интегрируемой функции – это площадь под графиком этой функции. Обращаясь снова к рис. 2.3, видно, что интеграл по замкнутому контуру от количеств внешних воздействий dq и dw равен площади замкнутого контура (цикла) в соответствующих координатах. Наверное, понятно, что эта площадь сильно зависит не только от координат точки 1 и точки 2, но и от вида (формы) самих траекторий перехода из т. 1 в т.2 и обратно. Особенно это наглядно видно на рис.2.4.

Рис. 2.4. Иллюстрация зависимости количества теплоты q и работы w

от траектории пути процесса перехода из состояния т.1 в состояние т. 2.

Разная штриховка соответствует разным траекториям (процессам).

 

Из рассмотренного следует, что интеграл ∫dw (сумма элементарных количеств работы) и, аналогично, ∫dq (сумма элементарных количеств теплоты) зависят от вида траектории при неизменных начальных и конечных состояниях процесса.

 

Определение. Величины (функции), изменение которых зависят не только от состояния (параметров) начала и конца процесса, но и еще от траектории, называются функциями процесса.

 

Заключение: внутренняя энергия u = u(s,v) является функцией состояния, а теплота q и работа w являются функциями процесса (как, впрочем, и любое другое внешнее воздействие – электрическое, химическое, массообменное и т.д.).

 

Замечание. В различных учебниках, монографиях, учебных пособиях по технической термодинамике подчас вводят специальное обозначение для приращений теплоты и работы в виде δq и δw вместо dq и dw, как в этих лекциях, как бы подчеркивая, что это элементарные приращения, а не полные дифференциалы.

 

.

2. 1. Расчет количества теплоты и теплоемкости.

 

Потребность в расчетах количества теплоты в научной и инженерной практике появилась задолго до «рождения» термодинамики. Эта потребность стимулировала появление специальной науки – калориметрии, в которой центральным понятием является понятие теплоемкости. Исторически термин «емкость теплоты» перешел в «теплоемкость», которая различается по многим характеристикам.

 

Определение. Истинной теплоемкостью вещества называется отношение бесконечно малого количества теплоты к бесконечно малому изменению температуры:

 

Дж/К (2.9)

 

Смысл слова «истинная» состоит в том, что бесконечно малое приращение температуры dT берется от какой-то температуры Т. Поэтому истинная теплоемкость является функцией от самой температуры (параметр, влияющий на свойства вещества).

Наверное, понятно, что при одном и том же изменении температуры dT элементарное количество теплоты dQ и, следовательно, теплоемкость при таком изменении зависят от количественной меры вещества. В химической технологии – это число молей (кмоль), в технике и быту количество вещества определяют или массой m (кг), или объемом V0 при нормальных условиях (нм3)(в химии р0 = 760 мм. рт. ст, Т0 = 298К). Поэтому истинную теплоемкость относят (уделяют) на одну из этих мер. Соответственно, получается удельная истинная теплоемкость массовая, мольная и объемная. Их обозначения (не стандартизованы) и размерность следующие: [c] = Дж/кгК, [μc] = Дж/кмольК, [c΄] = Дж/нм3К.

 

Определение. Средней теплоемкостью называется

 

, ΔT = t2 – t1 (2.10)

 

Индекс «m» внизу у значка теплоемкости присвоен для обозначения слова «средний» (от английского слова middle или немецкого mittel). По существу, средняя теплоемкость – это средне интегральная величина истинной теплоемкости.

 

Иными словами, средняя теплоемкость вещества в каком-то интервале температуры – это количество теплоты, которое надо подвести (отвести) к (от) рабочему телу, чтобы изменить его температуру на 1 градус.

 

Так как удельное (полное) количество теплоты q (Q) является функцией процесса, то в калориметрии пришлось отдельно рассматривать теплоемкости по процессам: изохорную (v = const) и изобарную (p = const), так как эти процессы наиболее часто применяются на практике (емкости, трубы, аппараты и т.д.) Обозначение этих теплоемкостей (калорических величин) следующее: ср, сv или , для истинных и средних теплоемкостей соответственно.

В итоге выстраивается обширная классификация теплоемкостей: по интервалам температур на истинные и средние, по количествам вещества на массовые, мольные и объемные; по свойствам самих веществ; и, наконец, по множеству видов процессов, среди которых чаще всего встречаются изохорный и изобарный. Это численное и содержательное обилие теплоемкостей требует внимательного отношения к символам и размерностям рассмотренной калорической величины. Мы рекомендуем студентам в своей учебной работе всякий раз четко понимать и обозначать, о какой же теплоемкости в их расчетах идет речь (а их оказалось 7 видов без учета свойств веществ, а с ними и номенклатуры теплоемкостей). При любых расчетах всегда надо указывать размерность и номенклатуру (т.е. название) используемой теплоемкости.

Тогда удельное количество теплоты находится как:

 

q = ΔT, Дж/кг, q = μΔT, Дж/кмоль, и q = ΔT, Дж/нм3.

 

А полное количество теплоты находится как:

 

Q = mq = mΔT, Q = nq = n μΔT, Q = V0q = V0 ΔT, Дж.

 

Соотношение теплоемкостей, отнесенных к разным количествам вещества следующее:

 

μс = μ∙с = с΄∙22,4 кДж/кмольК. (2.11)

 

Примечание: конкретное освоение и расчет теплоемкостей рассматривается на лабораторной работе №2 «Определение объемной теплоемкости воздуха при постоянном давлении».

 

. Существуют многочисленные табличные данные в справочной литературе по этим величинам теплоемкостей. Но для прикидочных расчетов, в которых нет особых требований к точности результата, полезно пользоваться постоянными величинами теплоемкостей, которые приводятся в таблице ниже.

 

Таблица приближенных значений мольных

теплоемкостей газов при невысоких температурах.

 

Газ μcv, кДж/кмоль К
Одноатомный 12,6
Двухатомный 20,9
Трех и более атомный 29,1
   

 

Окончательно: теплоемкость, как калорическая (тепловая) величина, не относится к категории функций состояния и тем более к параметрам состояния. Строго говоря, понятие теплоемкости чуждо термодинамике, так как количество термического воздействия внешней среды на систему можно рассчитать и без теплоемкости как dq = Tds. Тем не менее обилие справочного материала по теплоемкости для большого числа веществ и привычка к этой калорической характеристике сделали ее широко употребительной в термодинамических и других физико-химических расчетах.

 

Теперь с помощью простых физических соображений покажем, что изобарная теплоемкость любого вещества всегда больше изохорной (ср > cv).

Сначала проведем мысленный эксперимент, как бы используя экспериментальную установку на рис.2.5.

Рис.2.5. Схема двух экспериментов.

Измеряемые величины: температура Т с помощью термопар,

давление р с помощью манометра, количество теплоты q.

 

В первом случае (слева) просто нагреваем баллон с газом, во втором – нагреваем и поддерживаем постоянное давление в сосуде, позволяя газу расширяться. Зададимся вопросом: «В каком случае необходимо подвести больше теплоты, если начальная температура Т и ее изменение ΔТ в обоих случаях одинаковы?». Или иначе: «Какая теплоемкость больше: ср или сv?».

Ответ основывается на принципиальном различии экспериментов: слева термодинамическая система деформационно изолирована от внешней среды, т.е. не может совершить работу dw = pdv, а справа – может. И газ по-прежнему нагревается на ΔТ от подведенной теплоты qv = cvΔT, а во втором случае qp = qv(ΔT) + q(w) ≡ cpΔT. Поэтому ответ на поставленный вопрос: ср > сv.

 

Из лекции 1 и анализа определения теплоемкости понятно, что количество теплоты можно определить двояко – через теплоемкости и через энтропию. Действительно, dq = cdT или dq = Tds, т.е. cdT = Tds, а переходя на геометрическую интерпретацию определенного интеграла ∫dq, как площади под кривой, можно воспользоваться тепловыми диаграммами с координатами с – Т или Т – s (см. рис. 2.6.).

 

Рис.2.6. Тепловые диаграммы с – Т и Т – s для некоторого вещества.

Заштрихована площадь, численно равная количеству теплоты.

 

Разумеется, вторая, т.е. Т – s диаграмма, более содержательна и строга, т.к. она имеет координаты в виде функций состояния. Остается для интегрирования выразить T через s (или сх через Т), что возможно при известных свойствах веществ.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Свободная энергия и свободная энтальпия | Идеальный газ
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1474; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.036 сек.