Связь массового расхода потока с давлениями в начале и конце канала

Эту связь установим с помощью уравнения сплошности:

G = Fw/v, кг/с.

Подставим сюда выражение (5.9) для w и воспользуемся уравнением адиабаты pv^k = const. Окончательно, получаем:

G = F{2k/(k – 1) p₁/v₁ [β^2/k – β^{(k – 1)/k}]}^1/2, кг/с. (5.11)

Рассматривая выражение (5.11), можно увидеть, что при β = 0 и при β = 1 расход G = 0. Согласно теореме Роля из математического анализа функция G = G(β) должна иметь хотя бы один экстремум. Исследуем эту функцию: возьмем производную dG/dβ и приравняем ее к 0, отсюда найдем корни β_i этого уравнения, которые и определят положение экстремумов. Таких корней оказалось ровно один:

β = β_к = (2/(k – 1))^{k/(k – 1)}. (5.12)

А по знаку второй производной можно утверждать, что этот экстремум – максимум. Рассмотрим график зависимости G = G(β) на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Зависимость массового расхода G(β) от степени расширения β потока в канале.

Одна из ветвей этой зависимости показана пунктиром. Эта часть кривой G = G(β) физически не реализуема. Опыт показывает, что для любых каналов, кроме сопла Лаваля, G = G_k = const при 0 < β < β_k, а для сопла Лаваля справедлива кривая выше G_k = const.

Окончательно, массовый расход G потока в канале при βk < β < 1 зависит от β = р/р₁, т.е. от движущей силы процесса движения по каналу. При любых меньших β < β_k для любых каналов, т. е. любой геометрической формы F(x), кроме сопла Лаваля, G = const.

Изобретение. При отоплении печей природным газом в химической промышленности и промышленности строительных материалов неизбежны колебания давления перед сопловыми устройствами подачи природного газа. Эти колебания давления чисто случайны, не зависят от действий операторов печи, так как определяются случайным числом подключенных/отключенных потребителей газа к магистральному газопроводу.

Колебания давления приводят к колебаниям расхода природного газа в печь, и при высокой калорийности газа это приводит к случайным существенным изменениям температуры в печи, что вызывает или брак производства, или аварию типа спека («козла»).

Для увеличения работоспособности печного агрегата можно поднять давление перед сопловыми устройствами так, чтобы истечение газа стало звуковым, т.е. массовый расход природного газа G кг/с станет постоянным при всех обстоятельствах. Реализация такого предложения сделала вероятность «козла» в печи нулевой и одновременно резко снизила вероятность брака целевого продукта. «Крутой» студент капиталистической чеканки может быстро оформить патент на свое имя и получать дивиденды от пользователей предложения.

Процесс течения газов в любом канале можно изобразить в диаграммах p – v и h – s (см. рис. (5.6).

Рис. 5.6. Процесс течения газов в канале в координатах

p – v и h – s при β_k < β < 1.

При движении газа по соплу Лаваля давление на выходе из сопла равно давлению в окружающей среде, куда происходит истечение, и скорость истечения здесь наибольшая (см. рис. 5.7).

Рис. 5.7. Зависимость скорости истечения газа из сопла Лаваля

от степени расширения β = р/р₁.

Если истечение из сопла Лаваля происходит в вакуум, как для космических аппаратов, то р = 0 и, следовательно, β = 0. Тогда из (5.9) получаем

w_max = [2k/(k – 1) p₁v₁]^1/2 м/с,

а для идеального газа (pv = RT) w_max = [2k/(k – 1) RT₁]^1/2 м/с.

Здесь можно говорить о том, что внутренняя энергия газа полностью превращается в кинетическую энергию поступательного движения (хаос перешел в упорядоченность).

Процесс течения газа в сопле Лаваля можно показать на диаграммах p – v и h – s (см. рис. 5.8).

Рис. 5.8. Процесс течения газов в сопле Лаваля в координатах

p – v и h – s при 0 < β < β_k.

Найдем скорость потока в критическом сечении канала, т.е. там, где устанавливается максимальный расход и где

β = β_k = [2/(k + 1)]^{k/(k – 1)}.

Согласно формуле (5.9) имеем:

w_k = [2/(k – 1) p₁v₁ (1 – β_k^{(k – 1)/k})]^1/2 = [2/(k – 1) p₁v₁(1 – 2/(k + 1))]^1/2 =

= [2k/(k + 1) p₁v₁]^1/2. (5.13)

Эту же скорость можно вычислить и по формуле (5.10):

W_k = [2(h₁ – h_k)]^1/2. (5.14)

Каков физический смысл критической скорости и явлений в этом состоянии? Из формулы (5.12) имеем:

β_k = p_k/p₁ = (2/(k + 1))^{k/(k – 1)} → 2/(k + 1) = (p_k/p₁)^{(k – 1)/k} = p_k/p₁ (p₁/p_k)^1/k.

Далее, в формуле (5.13) можно увидеть, что

2k/(k + 1) =[2/(k + 1)] k.

Отсюда (см. (5.13)

w_k = [p_k/p₁ (p₁/p_k)^1/k kp₁v₁]^1/2 → (p₁/p_k)^1/k = v_k/v₁ → w_k = [kp_kv_k]^1/2 = a_k.

Таким образом, математически строго показали, что критическая скорость равна скорости звука, и это происходит в минимальном сечении сопла Лаваля. Следовательно, скорость течения в канале тесно связана со свойствами рабочего тела (движущегося вещества). Естественно, что подобная связь процесса движения в канале со свойствами вещества отражается на характере продвижения потока в канале.

Из уравнения сплошности ρw = G/F при F = F_min плотность потока массы ρw кг/м²с максимальна, достигнут предел сжимаемости – больше канал в принципе пропустить не может. Аналогия - бегство толпы людей со стадиона через узкие ворота. При панике эти ворота не пропустят больше плотно бегущих людей, как бы задние ряды не нажимали на первые ряды двигающихся людей.

Пример 1. Для вспрыскивания солярки (топлива) в цилиндры дизельного двигателя используется сопло Лаваля (инжектор). Давление воздуха в цилиндре двигателя в конце такта сжатия р = р₂ = 5,0 бар. Воздух подается в инжектор от компрессора при давлении р₁ = 12 бар и температуре Т₁ = 610К. Определить скорость воздуха на выходе из сопла Лаваля.

Решение. 1-ый способ. Чтобы решить, какой расчетной формулой следует пользоваться для определения скорости воздуха, необходимо прежде всего определить тип течения: дозвуковой, звуковой или сверхзвуковой на выходе из сопла. Для этого надо найти величину β и сравнить ее с β_k.

β = p₂/p₁ = 5/12 = 0,417. β_k = (2/(k + 1))^{k/(k – 1)}.

Следовательно, для расчета β_k необходимо найти k = c_p/c_v. По таблицам теплоемкостей для воздуха находим истинные мольные теплоемкости при Т₁ = 610К = 337⁰С:

μс_р(t = 337⁰C) = 30,266 кДж/кмольК. μс_v(t = 337⁰C) = 21,951 кДж/кмольК.

Отсюда k = μc_p/μc_v = 30,266/21,951 = 1,3788 ≈ 1,4. β_k = (2/(1,4 + 1))^{1,4/(1,4 – 1)} = 0,528.

Получилось, что β = 0,417 < β_k = 0,528. Рассмотрим рис. 5.9. Из него следует, что перепад давлений таков, что произойдет полное расширение воздуха в сопле Лаваля от р₁ = 12 бар до р₂ = 5 бар.

Рис. 5.9. Иллюстрация к примеру 1. Здесь видно, что течение на выходе из

cопла – сверхзвуковое (М > 1).

Процесс течения в диаграмме p- v и T – s показан на рис. 5.10.

Рис. 5.10. Изображение процесса течения воздуха в сопле Лаваля

для примера 1. Здесь р_k = p₁β_k = 12*0,528 = 6,3 бара.

Для получения ответа задачи воспользуемся формулой (5.9), уже точно зная, что в нее следует подставлять величину β = 0,417, а не β_k = 0,528, так как в сопле происходит полное расширение воздуха.

w = [2k/(k – 1) p₁v₁ (1 – β^{(k – 1)/k}]^1/2 → pv = RT → w = [2k/(k – 1) RT₁ (1 – β^{(k – 1)/k}]^1/2 =

[2*1,4/(1,4 – 1)*(8314/29)*610*(1 – 0,417^{(1,4 – 1)/1,4})]^1/2 = 520 м/с.

Решение. 2-ой способ. Опять, как и в первом способе решения задачи, определим, что происходит полное расширение воздуха от р₁ = 12 бар до р₂ = 5 бар. В качестве расчетной формулы для определения скорости истечения из сопла возьмем теперь (5.10). Следовательно, надо найти h₁ – h₂ = Δh. Здесь поступаем просто:

Δh = c_pm|^t2_t1*Δt,

Где Δt = T₂ – T₁ = t₂ – t₁. Но температура воздуха во второй точке процесса пока не известна. Найдем ее:

T₂/T₁ = (p₂/p₁)^{(k – 1)/k} → T₂ = T₁(p₂/p₁)^{(k – 1)/k} = 610(5/12)^{(1,4 – 1)/1,4} = 475K = 202⁰C.

По таблицам теплоемкостей для воздуха ищем среднюю массовую изобарную теплоемкость (см. семинар по теплоемкости)

c_pm|³³⁷₂₀₂ = (c_pm|³³⁷₀ *337 - c_pm|²⁰²₀ *202)/(337 – 202) =

= (1,0191*337 – 1,0115*202)/(337 – 202) = 1,0302 кДж/кг К.

Далее, Δh = c_pm|³³⁷₂₀₂*Δt = 1,0302*(337 – 202) = 139 кДж/кг.

w = [2*Δh]^1/2 = [2*139*10³]^1/2 = 527 м/с.

Ответ: скорость истечения из сопла 520 м/с.

Пример 2. Ручным насосом производится подкачка автомобильной шины, давление в которой р₂ = 2 бара, а в насосе создается давление р₁ = 5 бар и температура при этом t₁ = 47⁰C. Определить давление на выходе из насоса и время процесса подкачки, считая условно неизменной скорость истечения из насоса с отверстием диаметром d = 5мм. Объем подкачки V = 50 литров.

Решение. Прежде всего, приведем все исходные данные в систему СИ: Т₁ = 47 + 273 = 320К, d = 5*10^-3 м, V = 50*10^-3 м³.

Определяем характер истечения – дозвуковой, звуковой или сверхзвуковой. Сразу можно сказать, что сверхзвукового течения в принципе быть не может, так как канал не профилирован как сопло Лаваля (в тексте задачи об этом ничего не сказано). Рассчитаем степень расширения

β = р₂/р₁ = 2/5 = 0,4 < β_k ≈ 0,5.

Из теории, изложенной выше, известно, что в не профилированном отверстии достигается только критическая (звуковая) скорость течения. Следовательно, на выходе из отверстия насоса все параметры состояния воздуха – критические.

Давление на выходе из отверстия: р_k = β_k*p₁ = 0,5*5 = 2,5 бара.

Температура в критическом (выходном) сечении:

Т_k = T₁*(p_k/p₁)^k/(k-1) = 320*0,5^{1,4/(1,4 – 1)} = 269K = - 4⁰C.

Удельный объем воздуха в критическом состоянии: v_k = RT_k/p_k =

= 8314*269/(29*2,5*10⁵) = 0,309 м³/кг.

Скорость истечения (это скорость звука):

w_k = [k*p_k*v_k]^1/2 = [1,4*2,5*10⁵*0,309]^1/2 = 328 м/с.

Объемный расход воздуха из насоса в камеру автоколеса:

V_k = F*w_k = 0,785*d²*w_k = 0,785*(5*10^-3)²*328 = 3,22*10^-2 м³/с.

Время подкачки одной автошины:

τ = V/V_k = 50*10^-3/3,22*10^-2 = 1,55 с.

Ответ: давление на выходе из насоса p_k = 2,5 бара; время подкачки τ = 1,55 с.

Замечание к примеру 2. Расчетный режим истечения сжатого воздуха из отверстия и далее по патрубку в камеру получился критический. Полный перепад давления р₁ – р₂ = 5 – 2 = 3 бара не используется для технической цели. Энергия давления (а это потенциальная энергия газа) пропадает, тратится на трение, на перестройку профиля скорости, диссипирует (рассеивается).

На рис. 5.11 представлены диаграммы p – v и h – s для процесса во втором примере.

Рис. 5.11. Процесс истечения в примере 2.

Пунктиром показан процесс полного расширения 1 – 3 воздуха,

если бы использовалось сопло Лаваля.

Замечание. При истечении через отверстие (сверление), патрубок, штуцер поток сам формирует сужающуюся струю (см. пунктир на рис. 5.12), и при этом часть кинетической энергии потока расходуется на подобную перестройку.

Рис. 5.12. Самоорганизация струи (потока) при течении через отверстие.

Более того, образуются вихри, которые подвержены силам трения о стенку. На поддержание движения этих вихрей тоже тратится энергия потока.

Для снижения этих потерь (а эти потери – это в конце концов рост себестоимости продукта химической технологии) в машинах и аппаратах перед сечением с критической (звуковой) скоростью устанавливают конфузор, а за отверстием – диффузор с углом раскрытия конуса ≈ 8⁰ - 12⁰.

Пример 3. Водяной пар с параметрами р₁ = 12 бар и температурой Т₁ = 610К используется в качестве рабочего тела в инжекторе, входная часть которого имеет форму сужающегося конуса (конфузора). Найти давление и скорость истечения из конфузора в среду с давлением р₂ = 5 бар.

Решение. Водяной пар относится к категории реальных газов, определение его параметров состояния производится по фазовым диаграммам или по таблицам. Проведем решение задачи с использованием диаграммы h – s для водяного пара (см. рис. 5.13).

Рис. 5.13. Иллюстрация к решению задачи примера 3.

Диаграмма состояния h – s и ход процесса течения пара в конфузоре.

Сначала, как всегда, определяем характер истечения струи: дозвуковой, звуковой или сверхзвуковой. Так как конфузор не является соплом Лаваля, то сверхзвукового течения в принципе быть не может.

Величина β = р₂/р₁ = 5/12 = 0,42, а β_k ≈ 0,5 для водяного пара. Следовательно, β < β_k и в соответствии с изложенной теорией течение пара на выходе из конфузора будет критическим (звуковым). В частности, давление пара будет равно р_k = β_k*p₁ = 0,5*12 = 6 бар.

Теперь находим параметры состояния в точке 1 и точке «К» (см. рис. 5.13). Точка 1 находится как пересечение изобары р₁ = 12 бар с изотермой Т₁ = 610К = 337⁰С. Для этой же точки 1 (она оказалась в области перегретого пара) находим по диаграмме энтальпию h₁ = 3128 кДж/кг. Точка К находится на пересечении изобары р_k = 6 бар и изоэнтропы из точки 1. Здесь же сразу находим h_k = 2944 кДж/кг. Точка К оказалась тоже в области перегретого пара.

Используя формулу (5.14), получаем:

w = w_k = [2*(h₁ – h_k)]^1/2 = [2*(3128 – 2944)*10³]^1/2 = 607 м/с.

Ответ: давление на срезе конфузора р_k = 6 бар, скорость истечения w_k = 607 м/с.

Вопрос на «засыпку». Поместим девушку – студентку в область перед конфузором (см. предыдущий пример), а юношу – студента в область за конфузором. Пусть юноша громко приглашает девушку в кино. Будет ли реализовано его приглашение?

Дата добавления: 2014-01-04