Завдання до розділу 1

Усні питання для повторення матеріалу

1. Чому вектор не можна намалювати на рисунку?

2. Навіщо ми доводили, що суми рівних напрямлених відрізків рівні між собою?

3. Куди напрямлений нульовий вектор?

4. Чому два рівнобіжних вектори завжди лінійно залежні?

5. Чому дорівнює розмірність простору, складеного з векторів, які паралельні однієї площини?

6. Яким чином координати вектора допомагають увести поняття координат точки?

7. Запропонуйте своє формулювання правила правої руки для визначення орієнтації базису.

Контрольні задачі

1. Дано трикутник ABC. Знайдіть таку точку М, щоб . Доведіть, що ця точка є точкою перетинання медіан і вона ділить кожну з медіан у відношенні 1:2. Розв’яжіть задачу використовуючи радіуси-вектори.

2. Дано чотирикутник ABCD. Знайдіть таку точку М, щоб .

3. Дано тетраедр ABCD. Знайдіть точку M, для якої . Знайдіть загальний розв’язок для цих двох задач.

4. Доведіть, що сума векторів, які йдуть з центра правильного багатокутника до його вершин, дорівнює . Користуючись розв’язком цієї задачі, спробуйте підтвердити (або спростувати) такі твердження:

а) центр мас фігури збігається з її центром симетрії;

б) центр симетрії фігури завжди є центром мас цієї фігури.

5. Доведіть основні нерівності трикутника.

Теми для індивідуальних науково-дослідних завдань.

1. Обчисліть скалярний добуток векторів через їхні координати в непрямокутних (афінних) системах координат. Поясніть, що таке коваріантні й контраваріантні координати та метричний тензор.

2. Доведіть, що криволінійні полярна, сферична й циліндрична системи відліку є прямокутними.

3. За аналогією до полярних координат, часто користуються і так званими еліптичними координатами. У цих системах координат координатними лініями є сімейство еліпсів, а не окружностей. Дослідіть такі координати. Яке значення мають у цих системах координати. Які інші координатні лінії є в такій системі?

Дата добавления: 2014-01-04