Определение необходимого объема выборки

Для определения необходимой численности выборки исследователь должен знать уровень точности выборочной совокупности с определенной вероятностью.

В общем случае необходимая численность выборки прямо пропорциональна дисперсии признака и квадрату коэффициента доверия t.

Для определения средней длины детали следует провести исследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей необходимо отобрать, чтобы ошибка выборки не превышала 3 мм с вероятностью 0,997 при среднем квадратическом отклонении 6 мм? Ошибка и среднее квадратическое отклонение заданы, исходя из технических условий.

При Р = 0,997 → t = 3. Тогда

n = (32 × 62) / 32 = 36 деталей.

При большом числе единиц выборочной совокупности (n >100) распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой А.М. Ляпунова нормально или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений.

Однако в практике статистического исследования в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с малыми выборками.

Малой выборкой называется такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В.С. Госсетом (печатавшимся под псевдонимом Стьюдент). Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной совокупности уже не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются распределением Стьюдента и критерием Стьюдента, определяемым по формуле:

где — средняя ошибка малой выборки.

Величина σ вычисляется на основе данных выборочного наблюдения. Она равна:

Необходимый объем выборки представлен в таблице 4.

Таблица 4

Необходимый объем выборки для некоторых способов формирования выборочной совокупности

Вид выборочного наблюдения	Повторный отбор	Бесповторный отбор
Собственно случайная выборка
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Механическая выборка	То же	То же
Типичная выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака
Серийная выборка:
а) при определении среднего размера признака
б) при определении доли признака

Напомним еще раз, что предельной ошибкой выборки принято считать максимально возможное расхождение , т.е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления.

В математической теории выборочного метода сравниваются средние характеристики признаков выборочной и генеральной совокупностей и доказывается, что с увеличением объема выборки вероятность появления больших ошибок и пределы максимально возможной ошибки уменьшаются. Чем больше исследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик. На основании теоремы Чебышева—Ляпунова—Лапласа предельную величину ошибки простой случайной выборки для средней при достаточно большом объеме выборки (n) и повторном отборе можно определить по формуле:

где — предельная ошибка, а t — коэффициент доверия.

Фактически , где знаменатель дроби весьма близок к S2.

Из этой формулы средней ошибки простой случайной выборки видно, что величина ее зависит от изменчивости признака в генеральной совокупности (чем больше вариация признака, тем больше ошибка выборки) и от объема выборки n (чем больше исследуется единиц, тем меньше будет величина расхождений выборочных и генеральных характеристик).

Академик A.M. Ляпунов доказал, что вероятность появления случайной ошибки выборки при достаточно большом ее объеме подчиняется закону нормального распределения. Эта вероятность определяется по формуле:

Таким образом, величина предельной ошибки выборки может быть установлена с определенной вероятностью. Вероятность появления ошибки, равной или большей утроенной средней ошибки выборки, т.е. Δ ≤ 3μ, крайне мала и равна 0,003 (1 - 0,997). Такие маловероятные события считаются практически невозможными, а потому величину Δ = 3μ можно принять за предел возможной ошибки выборки.

Выборочное наблюдение дает возможность определить среднюю арифметическую выборочной совокупности и величину предельной ошибки этой средней Δ, которая показывает (с определенной вероятностью), насколько выборочная величина может отличаться от генеральной средней в большую или меньшую сторону. Тогда величина генеральной средней будет представлена интервальной оценкой, для которой нижняя граница будет равна (), а верхняя граница — (), т.е. имеем:

Интервал, в котором с данной степенью вероятности будет заключена неизвестная величина оцениваемого параметра, называют доверительным, а вероятность Р — доверительной вероятностью. Чаще всего доверительную вероятность принимают равной 0,95 или 0,99, тогда коэффициент доверия t равен соответственно 1,96 и 2,58. Это означает, что доверительный интервал с заданной вероятностью заключает в себе генеральную среднюю.

Тема 8: Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений

Дата добавления: 2014-01-04