Унарные операции

Реляционная алгебра

Формальное определение реляционной алгебры:

где

r_i ={t₁,t₂,…}| t_k=(d₁,d₂,…), d_p∈D_j - значение атрибута A_p,

rel(r_i)=(A₁,A₂,...) - схема отношения r_i,

∪ - оператор объединения отношений,

∩ - оператор пересечения отношений,

\ - оператор разности отношений,

Ä - оператор прямого произведения отношений,

¬ - оператор дополнения отношения,

δ_B(r) - оператор выбора кортежа отношения по условию B,

π_rel(r) - оператор проекции отношения на новую схему rel,

>< - оператор естественного соединения отношений,

>^θ< - оператор θ - соединения отношений,

: - оператор деления отношений.

Задание логических операторов Ψ={&,∨,¬} и операторов сравнения θ={=,≠,>,≥,<, ≤} позволяют формировать условия исполнения алгебраических операций. Совокупность отношений и множества операторов Σ,Ψ,θпредставляют алгебраическую систему:

М_рел=<R, Σ, Ψ, θ>,

где {Σ, Ψ, θ} – сигнатура алгебраической системы,

θ={=, ≠, >, ≥, <, ≤},

Ψ= {&, ∨, ¬}.

Будем далее рассматривать исполнение алгебраических операций над пятью отношениями (ключи подчеркнуты):

r1

A1

A2

A3

r2

A1

A2

A3

r3

A1

A4

A5

а1

b1

а2

b3

а1

с2

d3

а2

b2

а1

b1

а2

с1

d1

а3

b3

а2

b4

а3

с1

d2

а4

b4

а1

b2

а1

с2

d1

r4	A4	A5	A6		r5r5	A1	A2	A3	A4	A5	A6
	c2	d3			а1	b1		с2	d3
c1	d1		а2	b2		с2	d2
c2	d2		а1	b1		с3	d3
c3	d3		а2	b2		с2	d1
				а1	b1		с1	d1
				а3	b3		с1	d1
				а3	b3		с3	d3
				а4	b1		с2	d3

Поскольку наглядно и наиболее удобно представлять отношения таблицами, то исполнение операций проследим в форме таблиц.

Оператор выбора δ_B(r)позволяет извлекать из отношения r кортежи по условию В и создавать новое отношение: r’=δ_B(r,В)=t’|t’⊆r, B, rel(r’)=rel(r)}. При исполнении этой операции сохраняется первоначальная схема отношения.

Условия выбора В описывают с помощью арифметических операторов сравнения q={=,≠,>,≥,<,≤} и/или логических операторов Ψ={&,∨,¬} и имеют один из форматов (k – некоторая константа, принадлежащая соответствующему домену):

· B=(А_i=k) означает выбор в заданном отношении кортежей, для которых атрибут А_i имеет значение k;

· B=(А_i≠k) означает выбор в заданном отношении кортежей, для которых атрибут А_i имеет значение, отличное от k;

· В=(А_i>k) означает выбор в заданном отношении кортежей, для которых атрибут А_i имеет значение, большее k;

· В=(А_i≥k) означает выбор в заданном отношении кортежей, для которых атрибут А_i имеет значение, не меньшее k.

Возможно обобщение условия В:

1) B=((A_i,…, A_j,..., A_k)=(k_i,…, k_j,…, k_k)) означает выбор в заданном отношении кортежей, для которых атрибут A_i имеет значение k_i, атрибут A_j имеет значение k_j, атрибут A_k имеет значение k_k.

2) Если условия заданы логическими операторами, то B=(B_i&B_j) означает «выполнить условие B_i и B_j», а B=(B_i∨B_j) – «выполнить условие B_i или B_j» и т. п.

Использование функциональных символов {+,-,*,/} в формировании условий запрещено.

Примеры использования оператора выбора:

1. Выбрать кортежи отношения r₁ по значению ключа А₁=а2, т.е.сформировать новое отношениеr’₁=δ_B(r₁,(А₁=а2)).

Решение:

r’1	A1	A2	A3
	а2	b2

2. Выбрать кортежи отношения r₂ по значению атрибута A₃=1, т.е. сформировать новое отношение r’₂= δ_B(r₂,(А₃=1)).

Решение:

r’2	A1	A2	A3
	а2	b3

3. Выбрать кортежи отношения r₅ по значениям атрибутов: A₁=a1,A₂=b1,A₃=1, т.е. r’₅= δ_B(r₅,((A₁=a1)&(A₂=b1)&(A₃=1))).

Решение:

r’5	A1	A2	A3	A4	A5	A6
	а1	b1		с2	d3
а1	b1		с3	d3
а1	b1		с1	d1

Оператор проекции π_rel(r)позволяет формировать из данного отношения r со схемой rel(r)=(A₁,A₂,..,A_n) новое отношение r’ со схемой rel(r’)=(A_i,A_j,…,A_k), где 1£i,j,k£n, путем удаления и/или переупорядочения атрибутов: π_rel(r,A_i,A_j,…,A_k). Т.е. r’=π _rel (r)={ t’| |rel(r’)|≤ |rel(r)|}. Число кортежей формируемого отношения равно числу кортежей заданного отношения, т.е. |r’|=|r| (это условие ограничивает область применения данного оператора, распространяя его только на ключевые атрибуты).

Примеры использования оператора проекции:

1. Выбрать только ключи отношения r₁, т.е. r’₁= π_rel(r₁,A₁).

Решение:

r1'	A1
	a1
a2
a3
a4

2. Выбрать только ключи отношения r₃, т.е. r’₃= π_rel(r₃,A₁,A₅).

Результат:

r3'	A1	A5
	a1	d3
a2	d1
a3	d2
a1	d1

Оператор дополнения ¬r позволяет формировать из данного отношения r новое отношение r’, кортежи которого не совпадают по значению атрибутов с кортежами данного отношения. Для этого необходимо найти множество всех кортежей со схемой заданного отношения rel(r) на области определения D= и удалить из этого множества кортежи заданного отношения r.

Например, найти дополнение для отношения r₃, т.е. сформировать r’₃=Ør₃.

Решение:

1) Сформируем множества значений атрибутов, составляющих отношений r₃: D₁={a₁,a₂,a₃}, D₂={c₁,c₂}, D₃={d₁,d₂,d₃}.

2) Определим все комбинации элементов доменов отношения r₃:

A1	A4	A5
a1	c1	d1
a1	c1	d2
a1	c1	d3
a1	c2	d1
a1	c2	d2
a1	c2	d3
a2	c1	d1
a2	c1	d2
a2	c1	d3
a2	c2	d1
a2	c2	d2
a2	c2	d3
a3	c1	d1
a3	c1	d2
a3	c1	d3
a3	c2	d1
a3	c2	d2
a3	c2	d3

2) Исключим из таблицы размещений кортежи, принадлежащие r₃ (выделены курсивом):

A1	A4	A5
a1	c1	d1
a1	c1	d2
a1	c1	d3
a1	c2	d1
a1	c2	d2
a1	c2	d3
a2	c1	d1
a2	c1	d2
a2	c1	d3
a2	c2	d1
a2	c2	d2
a2	c2	d3
a3	c1	d1
a3	c1	d2
a3	c1	d3
a3	c2	d1
a3	c2	d2
a3	c2	d3

3) Результат:

r’3	A1	A4	A5
	a1	c1	d1
a1	c1	d2
a1	c1	d3
a1	c2	d2
a2	c1	d2
a2	c1	d3
a2	c2	d1
a2	c2	d2
a2	c2	d3
a3	c1	d1
a3	c1	d3
a3	c2	d1
a3	c2	d2
a3	c2	d3

Дата добавления: 2014-01-04