Выпуклость функции. Точки перегиба

Опр. Функция называется выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке Х, если . График выпуклой на промежутке Х функции расположен над любой ее секущей (и под любой ее касательной) на этом промежутке.

Аналогично вводится определение функции, выпуклой вниз (вогнутой).

выпуклая (вверх) вогнутая (выпуклая вниз)

Теорема (критерий выпуклости функции). Пусть функция дифференцируема в интервале (а,в). Тогда для выпуклости функции вниз необходимо и достаточно, чтобы монотонно возрастала на этом интервале. Для выпуклости функции вверх необходимо и достаточно, чтобы монотонно убывала на этом интервале.

Следствие (достаточное условие выпуклости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции неотрицательна (неположительна) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Опр. Точки, в которых график функции меняет направление выпуклости, называются точками перегиба графика функции.

Абсциссы точек перегиба являются точками экстремума первой производной.

Теорема (необходимое условие точки перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю: .

Абсциссы точек, в которых выполняется необходимое условие, называются критическими точками второго рода. Если перегиб графика есть, то только в таких точках.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть - дважды дифференцируема в интервале (а,в). Тогда если вторая производная при переходе через критическую точку второго рода меняет знак, то точка является точкой перегиба графика функции.

Замечание. Если смены знака второй производной не происходит, то перегиба графика в точке нет.

Пример. , ; - точка перегиба.

Итак, чтобы найти интервалы выпуклости функции, нужно:

1. Найти вторую производную функции.

2. Найти точки, в которых или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод о направлении выпуклости и точках перегиба на основании достаточных условий.

Дата добавления: 2014-01-04