Расчет разветвленной электрической цепи с несколькими источниками питания

Расчет цепи с одним источником питания

Электрическая цепь, схема которой приведена на рис. 1.25, состоит из одного источника питания, имеющего ЭДС E и внутреннее сопротивление r0, и резисторов R1,R2,R3, подключенных к источнику по смешанной схеме. Операции расчета такой схемы рекомендуется производить в определенной последовательности.

Рис. 1.25

1. Обозначение токов и напряжений на участках цепи.

Резистор R1 включен последовательно с источником, поэтому ток I1 для них будет общим, токи в резисторах R2 и R3 обозначим соответственно I2 и I3. Аналогично обозначим напряжения на участках цепи.

2. Расчет эквивалентного сопротивления цепи.

Резисторы R2 и R3 включены по параллельной схеме и заменяются согласно (1.7) эквивалентным сопротивлением:

.

В результате цепь на рис. 1.25 преобразуется в цепь с последовательно соединенными резисторами R1,R23 и r0. Тогда эквивалентное сопротивление всей цепи запишется в виде:

Rэ=r0+R1+R23

3. Расчет тока в цепи источника. Ток I1 определим по закону Ома (1.2):

I1=U/Rэ

4. Расчет напряжений на участках цепи. По закону Ома (1.1) определим величины напряжений:

U1=I1R1; U23=I1R23

Напряжение U на зажимах ab источника питания определим по второму закону Кирхгофа (1.4) для контура I (рис. 1.25):

E=I1r0+U; U=E−I1r0.

5. Расчет токов и мощностей для всех участков цепи. Зная величину напряжения U23, определим по закону Ома токи в резисторах R2 и R3:

;.

По формуле (1.8) определим величину активной электрической мощности, отдаваемую источником питания потребителям электрической энергии:

P=EI1.

В элементах схемы расходуются активные мощности:

;;.

На внутреннем сопротивлении r0 источника питания расходуется часть электрической мощности, отдаваемой источником. Эту мощность называют мощностью потерь:

.

6. Проверка правильности расчетов. Эта проверка производится составлением уравнения баланса мощностей (1.8): мощность, отдаваемая источником питания, должна быть равна сумме мощностей, расходуемых в резистивных элементах схемы:

.

Кроме того, правильность вычисления токов можно проверить, составив уравнение по первому закону Кирхгофа (1.3) для узла схемы:

I1=I2+I3.

Основным методом расчета является метод непосредственного применения первого и второго законов Кирхгофа.

В качестве примера рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. 1.26. Схема цепи содержит 6 ветвей (m=6) и 4 узла: a, b, c, d (n=4). По каждой ветви проходит свой ток, следовательно число неизвестных токов равно числу ветвей, и для определения токов необходимо составить m уравнений. При этом по первому закону Кирхгофа (1.3) составляют уравнения для (n–1) узлов. Недостающие m–(n–1) уравнения получают по второму закону Кирхгофа (1.4), составляя их для m–(n–1) взаимно независимых контуров. Рекомендуется выполнять операции расчета в определенной последовательности.

Рис. 1.26

1. Обозначение токов во всех ветвях. Направление токов выбираем произвольно, но в цепях с источниками ЭДС рекомендеются, чтобы направление токов совпадало с направлением ЭДС.

2. Составление уравнений по первому закону Кирхгофа. Выбираем 4–1=3 узла (a, b, c) и для них записываем уравнения:

узел a: I1−I2−I3=0;

узел b: I2−I4+I5=0;

узел c: I4−I5+I6=0.

3. Составление уравнений по второму закону Кирхгофа. Необходимо составить 6–3=3 уравнения. В схеме на рис. 1.26 выбираем контура I, II, III и для них записываем уравнения:

контур I: E1=I1(r01+R1)+I3R3;

контур II: 0=I2R2+I4R4+I6R7−I3R3;

контур III: −E2=−I5(r02+R5+R6)−I4R4.

4. Решение полученной системы уравнений и анализ результатов. Полученная система из шести уравнений решается известными математическими методами. Если в результате расчетов численное значение тока получено со знаком «минус», это означает, что реальное направление тока данной ветви противоположно принятому в начале расчета. Если в ветвях с ЭДС токи совпадают по направлению с ЭДС, то данные элементы работают в режиме источников, отдавая энергию в схему. В тех ветвях, где направления тока и ЭДС не совпадают, источники ЭДС работает в режиме потребителя.

5. Проверка правильности расчетов. Для проверки правильности произведенных расчетов можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы уравнений:

узел d: I3+I6−I1=0

внешний контур схемы: E1−E2=I1(r01+R1)+I2R2−I5(r02+R5+R6)+I6R7.

Независимой проверкой является составление уравнения баланса мощностей (1.8) с учетом режимов работы элементов схемы с ЭДС:

.

Если активная мощность, поставляемая источниками питания, равна по величине активной мощности, израсходованной в пассивных элементах электрической цепи, то правильность расчетов подтверждена.

Дата добавления: 2014-01-04