Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дифференциальные уравнения первого порядка




Определения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные и записывается

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например:

1) - обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;

2) - уравнение в частных производных 1-го порядка.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид. Если это уравнение можно разрешить относительно, то его можно записать в виде. Для такого уравнения справедлива теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения:

Т е о р е м а. Если в уравнении функция и её частная производная по непрерывны в некоторой области на плоскости, содержащей некоторую точку, то существует единственное решение этого уравнения удовлетворяющее условию: при

Условие, что при, называется начальным условием и записывается или.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция которая зависит от одного произвольного постоянного и удовлетворяет условиям:

- она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянного;

- каково бы ни было начальное условие, можно найти такое значение, что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением называется любая функция, которая получается из общего решения если в последнем произвольному постоянному придать определённое значение.

 

Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

 

где правая часть есть произведение функции, зависящей только от, на функцию, зависящую только от, преобразуем его следующим образом

 

Последнее равенство можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределённые интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя, получим

 

Дифференциальное уравнение типа

 

называют уравнением с разделёнными переменными. Общий интеграл его равен

.

Уравнение вида

 

называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделёнными переменными путём деления обеих его частей на выражение:

,

или

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 298; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.