Экономическая интерпретация двойственных задач

Для решения задачи реализации симплекс-метода в случае всех отрицательных свободных членов мы должны прибегнуть к решению двойственной задачи. Это позволяет получить решение по оптимальному решению двойственной задачи, имеющей допустимое начальное решение.

Двойственные задачи

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Теория двойственности оказалась полезной для проведения качественных исследований задач линейного программирования.

Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов.

Ранее рассмотрена задача об использовании ресурсов (экономико-математическая модель и содержательная интерпретация этой задачи I представлены в левой части табл. 6.1). В приведенной модели b_i (i = 1, 2,..., m) обозначает запас ресурса S _i, a _ij - число единиц ресурса S _i потребляемого при производстве единицы продукции P _j (j = 1, 2,..., n); C _j - прибыль (выручка) от реализации единицы продукции Pj (или цена продукции Pj).
Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы S ₁, S ₂,..., S _m предприятия и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы у ₁, у ₂ ,..., y _m
Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах b₁, b₂ ,..., b_m по ценам соответственно у ₁, у ₂ ,..., y _m были минимальны, т.е
Z = b₁ у ₁ + b₂ у ₂ +... + b_m у _m min.
С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции Р ₁ расходуется a₁₁ единиц ресурса S ₁, a₂₁ единиц ресурса S ₂ ,..., a_i1 единиц ресурса S _i ..., а _m1 единиц ресурса S _m по цене соответственно у ₁, у ₂ ,..., у _i ..., y _m. Поэтому для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции Р ₁ должны быть не менее ее цены c₁, т.е.
a₁₁ у ₁ + a₂₁ у ₂ +:+ a_m1 у _m >= c ₁
Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции Р ₁, Р ₂ ,..., Р _m. Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация полученной таким образом двойственной задачи II приведены в правой части табл. 6.1.

Задача I (исходная)

Задача II (двойственная)

F=c 1 x 1 +c 2 x 2 +...+c n x n max (6.1) при ограничениях a11 x 1 + a12 x 2+...+ a1n x n <= b 1 a21 x 1 + a22 x 2+...+ a 2n x n <= b 2 (6.2) am1 x 1 + am2 x 2+...+ amn x n <= b m и условии неотрицательности x 1>= 0; x 2>= 0;: x n>= 0 Составить такой план выпуска продукции Х = (х 1, х 2 ,..., хn), при котором прибыль (выручка) от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов.

Z=b1 y 1+b2 y 2+...+bm y m min (6.4) при ограничениях a11 у 1 + a21 у 2+...+ am1 у m >= c 1 a12 у 1 + a22 у 2+...+ am2 у m >= c 2 (6.5) a1n у 1 + a2n у 2+...+ amn у m >= c n и условии неотрицательности. y 1>= 0; y 2>= 0;: y m>= 0 Найти такой набор цен (оценок) ресурсов Y = (у 1, y 2 ,..., у m ), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции

Цены ресурсов у ₁, у ₂ ,..., у _m в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, "ненастоящие" цены. В отличие от "внешних" цен c₁, с₂,..., c_n на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов у ₁, у ₂ ,..., у _n являются внутренними, ибо они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.

Дата добавления: 2014-01-04