Нормальное распределение. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальный (показательный) закон распределения называемый также основным законом надёжности, часто используют для прогнозирования надежности в период нормальной эксплуатации изделий, когда постепенные отказы еще не проявились и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти объекты можно отнести к «не стареющим», поскольку они работают только на участке с = l =const (рис.2.6). Отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность.

Экспоненциальное распределение описывает наработку на отказ тех объектов, у которых в результате сдаточных испытаний (выходного контроля) отсутствует период приработки, а назначенный ресурс установлен до окончания периода нормальной эксплуатации.

Плотность распределения экспоненциального закона описывается соотношением

(2.12),

функция распределения этого закона — соотношением

(2.13),

функция надёжности

(2.14),

математическое ожидание случайной величины T

(2.15),

дисперсия случайной величины T

(2.16).

Экспоненциальный закон в теории надёжности нашел широкое применение, так как он прост для практического использования. Почти все задачи, решаемые в теории надёжности, при использовании экспоненциального закона оказываются намного проще, чем при использовании других законов распределения. Основная причина такого упрощения состоит в том, что при экспоненциальном законе вероятность безотказной работы зависит только от длительности интервала и не зависит от времени предшествующей работы.

Экспоненциальное распределение широко применяется для оценки надежности энергетических объектов.

Графики изменения показателей надёжности при экспоненциальном распределении приведены на рис.2.6.

Рис. 2.6 Графики изменения показателей надежности при экспоненциальном распределении

Нормальное распределение является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым. Считается, что наработка объекта подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если ПРО описывается выражением:

(2.17),

где a и b -параметры распределения, соответственно, МО и СКО, которые по результатам испытаний принимаются:, где и - оценки средней наработки до отказа и дисперсии (- СКО).

Т.о. ПРО имеет вид

. (- МО наработки).

Колоколообразная кривая плотности распределения приведена на рис. 2.7.

Интегральная функция распределения имеет вид

(2.18).

Рис. 2.7 Кривые плотности вероятности (а) и

функции надежности (б) нормального распределения

Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц нормального распределения, при котором = 0 и s = 1. Для этого распределения функция плотности распределения отказов имеет одну переменную t и выражается зависимостью

(2.19)

Величина t является центрированной (так как = 0) и нормированной (так как σ _t = 1).

Функция распределения соответственно запишется в виде:

(2.20)

Значение функции распределения определяется формулой

F(t) = 0,5 + Ф(u) = Q(t);

где Ф – функция Лапласа, u = (t-T ₀)/ s - квантиль нормированного нормального распределения. Т.е. функция распределения представляет собой ВО.

При использовании функции Лапласа вместо интегральной функции распределения F ₀(t) имеем

,

ВО и ВБР, выраженные через функцию Лапласа, имеют вид

, (Ф от (и), а не умножить!!!)(2.21)

(2.22).

Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал значений от α до β вычисляют по формуле

.

Значения функции Лапласа Ф и u – табулированы.

Общий характер изменения показателей надёжности при нормальном распределении приведён на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Характер изменения показателей надёжности при нормальном распределении

Нормальный закон распределения часто называют законом Гаусса. Этот закон играет важную роль и наиболее часто используется на практике по сравнению с другими законами распределения.

Основная особенность этого закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. В теории надежности его используют для описания постепенных отказов, когда распределение времени безотказной работы в начале имеет низкую плотность, затем максимальную и далее плотность снижается.

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие, примерно равнозначные факторы.

Дата добавления: 2014-01-04