Метод конечных разностей

РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ ФИЛЬТРОВ

ОПЕРАТОРНЫЕ или подстановочные АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОЙ

Цифровая реализация корректирующего фильтра с передаточной функцией

(3.1)

связана с численным решением соответствующего дифференциального уравнения:

(3.2)

Для получения численного решения, дискретного по своей природе, вводится дискретное время

(3.3)

Здесь h - шаг дискретизации, k - числа из натурального ряда.

Необходимо построить разностное уравнение, решение которого было бы достаточно близко к точному решению уравнения (3.2) в моменты времени (3.3).

Общая форма записи линейного разностного уравнения n - го порядка имеет следующий вид [5]:

(3.4)

Здесь u_j и ν_i -- постоянные коэффициенты.

Уравнение (3.4), по существу, является алгоритмом вычисления очередного

(к -того) отсчета х(к), для чего необходимо иметь в памяти машины n предыдущих отсчетов х(к-1),...х(к-n), вычисленных ранее, и m+1 отсчетов

y(k), y(k-1)...y(k-m) входной величины, поступающих извне.

Существует множество методов вычисления коэффициентов разностного уравнения (3.4) по коэффициентам исходного уравнения (3.2), простейшим из которых является метод конечных разностей.

Идея метода конечных разностей заключается в том, что производные в уравнении (3.2) приблизительно заменяются конечными разностями отсчетов, отнесенными к шагу дискретизации h:

(3.5)

Аналогично вычисляются и производные от входной величины y(k).

Подставив приближенные выражения (3.5) производных по входу и выходу в уравнение (3.2) и собрав коэффициенты при одинаковых отсчетах, получим разностное уравнение (3.4).

Проиллюстрируем метод на уравнении второго порядка.

(3.6)

Подставим сюда приближенные выражения для производных (3.5) по входу и выходу:

Отсюда, собрав коэффициенты при одинаковых отсчетах, получим:

Умножив это уравнение на h² и поделив на коэффициент при x(k), получим разностное уравнение типа (3.4) с коэффициентами:

(3.7)

Обозначим z - преобразования последовательностей x(k) и y(k) через X(z) и Y(z)

соответственно. Применим к разностному уравнению (3.4) операцию z – преобразования, что эквивалентно использованию оператора z сдвига (опережения):

(3.8)

Из (3.4) и (3.8) можем получить:

Умножив обе части равенства на zⁿ, cформируем дискретную передаточную функцию:

(3.9)

Переход от непрерывной передаточной функции (3.1) к дискретной передаточной функции (3.9) по методу конечных разностей производится с использованием линейных операций, поэтому он может быть сведен к замене операторов в соответствии с (3.5).

Итак, из (3.5)

Используя оператор дифференцирования р и оператор сдвига, из последнего выражения можно получить:

Отсюда

(3.10)

Заменив в передаточной функции (3.1) оператор р выражением (3.10), получим дискретную передаточную функцию (3.9), коэффициенты которой сформированы по методу конечных разностей.

Для уравнения (3.6) второго порядка:

Подставим сюда (3.10) и проделаем очевидные преобразования:

Поделив в последнем соотношении числитель и знаменатель на коэффициент при z² знаменателя, получим:

(3.11)

Сравнивая коэффициенты (3.7) и (3.11) можно видеть их равенство. Это означает, что переход от дифференциального уравнения типа (3.2) [в частности (3.6)] к разностному уравнению (3.4) [в частности (3.7)] методом конечных разностей эквивалентен переходу от аналоговой передаточной функции (3.1) к дискретной передаточной функции (3.9) путем замены оператора (3.10).

Дата добавления: 2014-01-04