Лекция 1. Курс лекций по Теории Вероятностей

Курс лекций по Теории Вероятностей

Санкт-Петербург

СПбГПУ

СОДЕРЖАНИЕ
Название параграфа	Стр.
Лекция 1 Предмет Теории Вероятностей Случайные события. Основные понятия Основные операции над множествами Вероятность и варианты определения Лекция 2 Основные соединения в комбинаторике Условная вероятность Теорема умножения вероятности Лекция 3 Теорема умножения вероятностей для n любых событий Независимость событий Независимые в совокупности события Необходимое и достаточное условие взаимной независимости n событий Вероятность наступления хотя бы одного из независимых в совокупности событий Лекция 4 Формула полной вероятности Сложные испытания. Испытания по схеме Бернулли Лекция 5 Асимптотическая формула Пуассона Асимптотическая формула Муавра-Лапласа Функция Лапласа и ее основные свойства. Интеграл Лапласа   Лекция 6 Случайные величины. Основные понятия и определения Интегральная функция распределения случайной величины Лекция 7 Законы распределения Числовые характеристики случайных величин Лекция 8 Начальный и центральный моменты Связь между начальным и центральным моментами Дисперсия и ее свойства Среднее квадратическое отклонение Характеристики формы кривой распределения Лекция 9 Производящая функция Биномиальное распределение для ДСВ Закон распределения Пуассона Закон геометрического распределения Лекция 10 Нормальный закон распределения (Закон Гаусса) Вероятность попадания нормального распределения случайной величины в интервал Лекция 11 Закон равномерной плотности Показательное (экспоненциальное) распределение Лекция 12 Закон больших чисел Сходимость по вероятности Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева Сущность Теоремы Чебышева Значение Теоремы Чебышёва для практики Теорема Бернулли Лекция 13 Понятие о центральной предельной теореме (ЦПТ)

Элементарная Теория Вероятностей

§ Предмет Теории Вероятностей

В изучении окружающей среды используются 2 метода: детерминированный способ описания, характеризующий явление в природе, обществе и вероятностный (стохастический или статистический).

Детерминированная математическая модель даёт вывод при задании всех переменных.

Вероятностная модель не даёт достоверного прогноза изучаемого явления. Выводы носят оценочный характер.

Теория Вероятностей – математическая дисциплина, изучающая математические модели случайных явлений, носящих массовый характер.

§ Случайные события. Основные понятия

Пусть проводится некоторый опыт (эксперимент, наблюдение, испытание), исход которого заранее определить нельзя.

Случайное событие (исход) – любой исход опыта, который может произойти или не произойти.

Обозначение событий: А, В, С…X, Y, Z.

Элементарный исход – любой простейший (неделимый в условиях данного опыта) исход опыта. Элементарные исходы должны удовлетворять условиям:

1) В результате опыта обязательно должен произойти какой-то исход.

2) Появление одного из элементарных исходов исключает появление других исходов.

3) В рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

Пространство элементарных событий – множество всех элементарных событий, связанных с данным опытом. Обозначение: Ω (омега)

Ω отождествляется с достоверным событием, ω_i Ω, где ω_i - элементарный исход.

В дальнейшем события будем рассматривать, как некоторые множества, составленные из более простых событий.

§ Основные операции над множествами

Множество – любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых – элемент множества.

Обозначение: множества – А, В, С

элементы множеств – а, b, c, где а А, b B, c C.

Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента: Ø

Оно соответствует невозможному событию.

Действия над множествами будем рассматривать на диаграммах Эйлера-Венна.

Множество В называется подмножеством множества А, если все элементы множества В содержатся в элементах множества А: В А.

- т.е. появление события В влечет за собой появление события А.

Пересечением или произведением множества А и В называется множество D, состоящее из элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В:

Множества А и В называются непересекающимися (несовместными), если их пересечение равно пустому множеству:

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, входящих в одно из множеств А или В:

- Совместные события

Разность множеств А и В – множество F, состоящее из элементов, входящих в множество А и не входящих в множество В.

Противоположным событию А называется событие Ā, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А:

, Ā - дополнение множества А.

События А₁, А₂, А₃,…А_n образуют полную группу событий, если выполняются 2 условия:

1. их попарные пересечения есть пустое множество: при любом i ≠j

2. их сумма образует достоверное событие:

§ Вероятность и варианты определения

Замечания:

1. Появление события А обладает какой-то степенью возможности, которую можно измерить численно. Это число - и есть вероятность события.

2. Вероятность достоверного события (которое в результате опыта происходит обязательно) равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

4. Все события возможные, но недостоверные будут иметь вероятность в пределах от нуля до единицы.

Дата добавления: 2014-01-04