Лекция 3. § Теорема умножения вероятностей для n любых событий

§ Теорема умножения вероятностей для n любых событий

Вероятность совместного появления n любых событий равна вероятности первого события умноженного на условную вероятность остальных.

(4)

Доказательство:

Последовательно будем применять формулу (3) для двух событий. Выделим A_n, а остальные будем рассматривать как одни элемент.

Далее к части тоже применим формулу (3) и получим:

(и так далее последовательно до) = Ч.Т.Д.

Пример 1: Общество из 5 мужчин и 10 женщин разбивают случайным образом на 5 групп по 3 человека. Какова вероятность того, что в каждой группе будет по одному мужчине.

Событие А – в каждой группе по одному мужчине.

А_i, где i от 1 до 5 – в i группе только 1 мужчина

Тогда

Где вероятность события А₁ будет равна: , где - число благоприятных исходов, а - число всех исходов.

, , ,

Каждую дробь преобразуем в общем виде:

, где , ,

§ Независимость событий

Событие А называется независимым от события В если осуществившееся событие В не изменяет вероятности появление события А, то есть условная и безусловная вероятности события А совпадают. (5)

Если событие А не зависит от события В от и событие В не зависит от события А.

Доказательство:

Необходимо доказать, что .

Воспользуемся аксиоматическим определением вероятности:

События называются взаимно (попарно) независимыми, если появление одного не изменяет вероятности появления другого.

(Об умножении вероятностей для двух взаимно независимых событий)

Вероятность произведения двух взаимно независимых событий равна произведению их вероятностей: (6)

Доказательство из формулы (4):

Пример 2: Два реле работают независимо и обеспечивают бесперебойную работу оборудования при скачках напряжения. Вероятность несрабатывания одного реле р = 0,01. Какова вероятность того, что не сработают оба реле?

Событие А – несрабатывание обоих реле, события А₁ и А₂ попарно независимы:

Замечание: Независимые и несовместные события это разные понятия:

Несовместные - Независимые -

Пример 3: Два орудия стреляют одновременно по одной цели. Вероятность попадания в цель первым орудием равна р₁ = 0,8, а вторым – р₂ = 0,9. Какова вероятность того, что цель будет поражена?

Событие А – попадание 1 орудия

Событие В – попадание 2 орудия

Эти события совместные, но независимые.

§ Независимые в совокупности события

События А₁, А₂, …, A_n называются независимыми в совокупности если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных:

1) Попарно независимые:

2) Любое событие А_к не зависит от любых комбинаций пересечений оставшихся событий.

Для независимых в совокупности событий справедлива следующая теорема:

Вероятность произведения n независимых в совокупности событий равна произведению их вероятностей:

Эта теорема будет также являться необходимым условием взаимной независимости n событий, но обратное будет неверно для n > 2

§ Необходимое и достаточное условие взаимной

независимости n событий

Для того, чтобы n событий были взаимно независимыми необходимо и достаточно:

1) , где

2) , где

3)

Если среди взаимно независимых событий заменить любое число событий их дополнениями, то получим опять взаимно независимые события.

Пример 4: Вероятность наступления события А равна р = 0,2. Опыты независимо проводятся до наступления события А. Какова вероятность того, что придется проводить 4 опыта, то есть в первых трех опытах событие не произошло?

, где k = 1, 2, 3, 4

- событие не произошло, эти события взаимно независимые.

§ Вероятность наступления хотя бы одного из независимых в совокупности событий

Вероятность наступления хотя бы одного из независимых в совокупности событий находится через теорему сложения для n взаимно независимых событий:

Пусть А₁, А₂, А₃, …, А_n – независимые в совокупности события.

Событие А – появление хотя бы одного из событий А_k.

Вероятность наступления события А вычисляется по формуле:

Доказательство:

Пусть событие

События А и В несовместные и образуют полную группу событий.

Пример 5: Произвели три выстрела по мишени. Вероятность каждого выстрела

р₁ = 0,6, р₂ = 0,7, р₃ = 0,8 соответственно. Какова вероятность хотя бы одного попадания?

Пусть событие А – хотя бы одно попадание

Событие А_i – цель поражена при i выстреле

- вероятность того, что цель не поражена при i выстреле

Дата добавления: 2014-01-04