I неравенство Чебышева

Лекция 12

§Закон больших чисел

Пусть X - неотрицательная СВ, имеющая конечное математическое ожидание М(Х), тогда имеет место неравенство вида: , для любого ε > 0.

Т.е. вероятность того, что СВ Х, не меньше ε, не превосходит её математическое ожидание, делённое на ε.

Доказательство:

Введём Y_ε – СВ - индикатор события X ≥ ε

Y_ε = 1 – при X ≥ ε

Y_ε = 0 – при 0 ≤ X ≤ ε

Составим закон распределения СВ Y_ε:

Yε
Pi	P1	P2

Тогда в силу неотрицательности СВ Х: и для события X ≥ ε можно заменить Х на ε: . Это неравенство сохранится, если мы применим к нему математическое ожидание:

заменяем M(Yε) на вероятность:

ч.т.д.

Дата добавления: 2014-01-04