Лекція 2. 9.1.4. Апроксимація нелінійної характеристики степеневим рядом

9.1.4. Апроксимація нелінійної характеристики степеневим рядом

Нехай функцію f(x), що дає аналітичне представлення характеристики нелінійного елемента, неперервну разом зі своїми похідними, можна розкласти в ряд Маклорена

Тоді часто (наприклад, при двопівперіодному детектуванні) нелінійна характеристика f(x) апроксимується многочленом

коефіцієнти якого повинні бути дорівнюють відповідним коефіцієнтам ряду (9.3). При такій апроксимації неважко визначити коефіцієнти :

.

Практично сума по k буде містити лише невелике число членів. Коефіцієнти , починаючи з якогось , звертаються в нуль.

Інтеграл легко обчислюється, якщо представити підінтегральну функцію як похідну по параметру S. Тоді

.

Зазначимо, що .

- момент -го порядку нормального розподілу з одиничною дисперсією і нульовим середнім.

Виконуючи диференціювання по S і використовуючи формулу для обчислення центральних моментів , знаходимо

.

Ця формула застосовна до знаходження . Інші при знаходяться диференціюванням.

.

Усереднимо добутки за часом.

Позначимо

Знаходимо кореляційну функцію процесу на виході нелінійної системи

Дискретній частини спектра відповідають (у змісті перетворення Фур'є) члени при n=0, неперервній частині – члени при n>0.

Якщо детермінована частина гаусівського процесу на вході системи відсутня, то одержуємо

Запишемо декілька перших членів, не беручи до уваги члени при n>5;

(9.4)

Перший член характеризує потужність постійної складової, другий відповідає неспотвореному відтворенню вхідного спектра на виході нелінійної системи, а наступні члени описують продукти нелінійних спотворень цього спектра другого, третього і більш високих порядків.

9.1.5. Квадратичний детектор

Використовуємо загальне співвідношення (9.4) для аналізу енергетичних характеристик випадкового процесу на виході квадратичного детектора, коли на його вхід діє гаусівський випадковий процес (детермінований сигнал + гаусівський стаціонарний шум).

Характеристика квадратичного детектора

при

.

Позначимо - середня потужність детермінованої частини процесу,

- часові кореляційні функції процесу .

Застосувавши введені позначення можна записати вираз усередненої кореляційної функції випадкового процесу, отриманого в результаті квадратичного перетворення:

Фізичне трактування доданків: перший відповідає потужності постійної складовий, другий – дискретній частині спектра, останні два – неперервній частині спектра.

Постійна складова створюється як детермінованою, так і випадковою частиною процесу на вході, причому частка постійної складової від детермінованої дорівнює , частка від випадкової частини - .

Дискретний спектр після квадратичного перетворення відтворює спектр квадрата детермінованої складової вхідного процесу. Неперервний спектр після квадратичного перетворення містить комбінаційні гармоніки від взаємних биттів компонентів випадкової частини і компонентів детермінованої і випадкової частин . При квадратичному детектуванні стаціонарного центрованого гаусівського процесу з кореляційною функцією відповідно до (9.5) кореляційна функція процесу на виході детектора причому середнє і дисперсія процесу на виході , а нормована кореляційна функція .

9.1.6. Двопівперіодне квадратичне детектування суми амплітудно-модульованого сигналу і гаусівського шуму

Припустимо, що детермінована частина гаусівського процесу являє собою амплітудно-модульований сигнал

.

Причому найвища гармоніка в спектрі обвідної набагато менша несучої .

Припустимо, що стаціонарний доданок гаусівського процесу представляє шум, спектр якого зосереджений у відносно вузькій смузі біля . Очевидно, що для відновлення низькочастотної обвідної з радіосигналу детектор, крім нелінійного елемента повинний містити фільтруючий елемент, що виділяє низькочастотні і придушує високочастотні компоненти.

З врахуванням вузькосмуговості сигналу знаходимо:

- середня потужність модулюючого сигналу

- часова кореляційна функція модулюючого сигналу

так як одержуємо

При відсутності сигналу

На відміну від лінійного детектора для якого вихідна кореляційна функція шумів виражається нескінченним рядом по ступенях , кореляційна функція шумів на виході квадратичного детектора не містить степеня вище другої.

Дата добавления: 2014-01-04