Лекція 6. Ймовірнісні характеристики обвідної

Ймовірнісні характеристики обвідної

11.1.1. Одномірна щільність імовірності і моменти

Одномірна функція розподілу обвідної має вид:

де - інтеграл Бесселя Ø-го порядку, рівний

Таким чином одномірна функція розподілу обвідної вузькосмугового нормального процесу в загальному випадку збігається з узагальненим законом розподілу Релея. В міру збільшення відношення закон розподілу обвідної наближається до нормального.

Коли сигнал відсутній (а=0), переходимо в звичайний релеєвський закон розподілу

з інтегральною функцією розподілу рівною

Моменти обвідної будуть рівні:

де - вироджена гіпергеометрична функція, що виражається у виді ряду, що складається з Г-функцій.

Якщо сигнал відсутній, то

.

Зазначимо, що розподіл (11.1) суми обвідної вузькосмугового процесу і детермінованого сигналу не залежить від фази сигналу.

11.2. Двомірна щільність імовірності

Переходячи до визначення двомірної функції розподілу обвідної вузькосмугового нормального випадкового процесу, обмежимося обчисленнями для випадку, коли сигнал відсутній (тобто випадковий процес стаціонарний).

Тоді

де - коефіцієнти кореляції випадкових функцій .

Інтеграл по буде дорівнювати функції Бесселя нульового порядку і не залежить від . Інтегрування по дає постійну, рівну .

У такий спосіб одержуємо двомірну функцію розподілу обвідної стаціонарного вузькосмугового нормального випадкового процесу

(11.5)

Якщо , то одержимо

,

тобто двомірна функція розподілу при , дорівнює добутку звичайних одномірних релеєвських функцій розподілу.

11.3. Кореляційна функція

Маючи вираз двовимірної щільності імовірності обвідної можна знайти її кореляційну функцію, так як остання є другий змішаний момент розподілу.

Кореляційна функція обвідної стаціонарного нормального випадкового процесу буде мати вид:

де

де - поліном Лагерра, рівний у загальному виді

Для коефіцієнти рівні

З врахуванням (11.8) коефіцієнти рівні, а

З врахуванням (11.9) і (11.10) одержуємо вираз для кореляційної функції обвідної вузькосмугового стаціонарного нормального випадкового процесу

При .

Дисперсія обвідної дорівнює:

де - квадрат постійної складової обвідної,

- дисперсія вихідного випадкового процесу.

Для випадку коли присутній гармонічний сигнал з амплітудою , кореляційна функція обвідної має наступний вид:

(11.12)

Дата добавления: 2014-01-04