По характеру проявления погрешности: систематическая, случайная, грубая

Систематическая – составляющая погрешности, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайная – составляющая погрешности, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Грубая – это погрешность, существенно превышающая ожидаемую в данных условиях погрешность.

2.2.Систематические погрешности

Прежде всего, как понимать «погрешность постоянна или закономерно изменяющаяся»?

А(х)

D

Х

а) б)

Рис.2.1

Рис.2.1 иллюстрирует два случая: на 2.1а) показано измерение постоянной величины, для которой погрешность D постоянна при каждом измерении; на 2.1б) измеряемой является зависимость измеряемой величины как функции от некоторого параметра х (сплошная линия), а пунктиром показан результат измерения этой зависимости при различных значениях х – измеренная зависимость. сохраняется при многократных измерениях (то есть проходит по пунктирной линии, при каждом цикле измерений). Если зафиксировать параметр, то получится всегда повторяющиеся значение, то есть случай 1а) можно рассматривать как измерение при постоянном влияющем параметре

Повторяемость величины систематической составляющей погрешности даёт «рецепт» исключения (уменьшения) её из результата. Для этого нужно найти поправку, которая равна по величине систематической погрешности, но противоположна по знаку, и прибавить её к результату измерения:

Потенциально поправку можно найти используя свойство определенности систематической составляющей, то есть она либо постоянна, либо меняется по детерминированному закону, но в общем случае, больше нечего добавить: то есть нет единой стратегии нахождения поправки, то есть нет универсального способа уменьшения систематической составляющей.

В каждом конкретном случае метод нахождения поправки зависит от наличия тех или иных средств измерения, опыта исследователя и т.п. Рассмотрим несколько практических примеров.

1. Стабилизация градуировочной характеристики средства измерения: конструктивно-технологические методы (уменьшение влияния температуры и электрических помех), параметрическая стабилизация (например, вместо одной ёмкости установить две включенных параллельно, у одной из которых с повышением температуры растет ёмкость, а у другой падает), метод отрицательной обратной связи.

Эти способы применимы при изготовлении средства измерения. Если пользователь применяет готовое средство измерения (его разбирать и усовершенствовать нельзя!), то можно воспользоваться приведенными приёмами.

2. Метод теоретического анализа, который сводится к усложнению модели за счет учета ранее неучтенных факторов. Например, наличие сопротивления проводов, внутреннего сопротивления источника и т.п.

3. Метод замещения, когда измеряемую величину замещают мерой и по разнице показаний прибора и значением меры определяют поправку. Если такой меры нет, то метод не применим.

4. Различные методы рандомизации, то есть создания ситуации, когда систематические погрешности, например, за счет многократных измерений той же величины разными приборами, обрабатываются как случайные.

2.3.Случайные погрешности

Случайный характер изменения величины погрешности не означает, что здесь царит полный хаос. Случайные погрешности подчиняются статистическим закономерностям, то есть закономерностям, которые справедливы в среднем.

Рассмотрим случаи измерения постоянной величин и закономерно изменяющейся, как это было сделано выше для систематической погрешности.

На рисунке 2.2а) звездочкой показана измеряемая величина, а точками результаты шести измерений. На рис 2.2б) сплошной линией измеряемая зависимость, а пунктиром – реализации, то есть результаты измерений этой зависимости.

Если для систематической нет единого метода уменьшения погрешности, то для случайных погрешностей есть универсальный подход, который сводится к тому, что необходимо найти оценку измеряемой величины.

А(х)

• · · * · · ·

Х

а) б)

Рис.2.2

На рисунке 2.2а) звездочкой показана измеряемая величина, а точками результаты шести измерений. На рис 2.2б) сплошной линией измеряемая зависимость, а пунктиром – реализации, то есть результаты измерений этой зависимости.

Если для систематической нет единого метода уменьшения погрешности, то для случайных погрешностей есть универсальный подход, который сводится к тому, что необходимо найти оценку измеряемой величины.

Оценка - это наилучшее приближение, которое может быть получено в данных условиях из-за случайного характера результатов единичных измерений. Физической предпосылкой нахождения оценки является то, что вместо одного измерения проводится серия измерений, то есть вводится избыточность за счет которой получают качество – то есть «наилучшее приближение».

Для пользователя оценка – это формула, в которую подставляют результаты единичных измерений (обычно для краткости «единичные измерения» называют наблюдениями).

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошее» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Рассмотрим эти требования (свойства оценок).

Пусть Θ – оценка (т.е. формула, в которую подставляются результаты наблюдений) параметра. (Например, оценка истинного значения измеряемой величины А, которая обозначается той же буквой с значком сверху Ậ). Взяв выборку объёма n (т.е. проведя n измерений), найдём оценку Θ₁. Затем проведя новые n измерений найдём оценку Θ₂ и т д. Повторяя опыт многократно, получим числа Θ₁,Θ₂,……Θ_к , которые в общем случае различны межу собой и являются случайными величинами.

- Несмещенность – математическое ожидание оценки равно оцениваемому параметру, т.е. М(Θ_i)=А;

- Эффективность – оценка имеет наименьшую дисперсию (при заданном объёме выборки n) по сравнению со всеми возможными.

- Состоятельность – оценка при n→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при n→∞ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Рассмотрим, как проявляют себя случайные погрешности, полагая, что в результатах наблюдения исключена систематическая составляющая погрешности, т.е. имеем дело с исправленным результатом наблюдения (исправленный результат наблюдения или измерения – результат, полученный после внесения поправок, т.е. не содержащий систематическую составляющую). Пусть проводится прямое измерение какой-либо постоянной величины А. Так как в каждом наблюдении присутствует погрешность, то эти результаты отличаются от величины А. Обозначим результат i-го наблюдения а_i=А+∆а_i, где ∆а_i – абсолютная погрешность i-го наблюдения. Наглядное представление о поведении результатов наблюдений, содержащих случайную погрешность, даёт полигон или гистограмма, являющиеся графическим отображением статистического ряда ( Л.1 ). На рисунке 2.3 показаны гистограмма (штриховая линия) и полигон (сплошная), которые при увеличении числа наблюдений (в пределе n→∞) и уменьшении интервалов (∆_i→0) вырождается в плотность распределения. На рисунке 2.3 обозначено: m_i- число наблюдений, попавших в i- ый интервал, n- число проведенных наблюдений.

n

∆_k ∆_k+1 ∆_k+2 ∆

Рис.2.3

Говоря о случайных погрешностях, необходимо установить связь между наблюдением (a_i) и погрешностью этого наблюдения (∆a_i). Так как результат i- го наблюдения и его погрешность связаны соотношением ∆a_i=a_i-A (где А-истинное значение измеряемой величины), то каждый результат наблюдения и погрешность этого наблюдения отличаются на постоянную величину, а значит на эту величину сдвинуты и распределения, так как прибавление постоянной величины к случайной не меняет характера распределения (меняются его параметры – в данном случае математическое ожидание). Отсюда следует, что распределения погрешности i- го наблюдения и самого наблюдения a_i одинаковы и сдвинуты по оси абсцисс на величину А, как показано на рис.2.4.

P(∆a_i) P(a_i)

A

Рис.2.4

Вид самого распределения – объективно существующая и наиболее полная характеристика случайной величины. На практике для описания распределения пользуются стандартными аппроксимациями. Для аппроксимации функций распределения случайных погрешностей рекомендуют (ГОСТ 8.011-72) применять следующие стандартные функции: нормальную (усеченную нормальную), треугольную (Симпсона), трапецевидную, равномерную, антимодальную, Релея. (рис.2.5)

Нормальное

Трапецевидное

Антимодальное

Треугольное

Равномерное

Релея

Рис.2.5

Задача обработки результатов измерений с целью уменьшения случайной составляющей погрешности в технике ставится следующим образом. Прежде всего, необходимо оценить до какой степени необходимо «уменьшать» случайную составляющую, исходя из метрологических характеристик средства измерения. Если случайная составляющая, полученная после обработки серии наблюдений, окажется значительно меньше погрешности, определяемой классом точности средства измерения, то, очевидно, что результат измерения не станет от этого точнее. И, наоборот, если случайная погрешность больше инструментальной, то следует провести ряд наблюдений и сделать эту погрешность меньше или одного порядка с погрешностью средства измерения. На основе теории статистической обработки по конечному числу наблюдений, которое обычно не велико, находят оценки параметров распределения, закон которого, как правило, считается известным из практических соображений. Если закон неизвестен, то используются различные способы его определения (критерии согласия, гистограммы и т.п.). Обычно достаточно бывает найти оценку истинного значения и разброса, характеризующую плотность группировки вокруг оценки истинного значения.

Задачу оценки параметра обычно делят на две части: во-первых, определяют какую величину, подсчитанную по имеющейся выборке, принять в качестве значения параметра распределения (точечная оценка), и, во-вторых, найти не случайный интервал вокруг этой величины, в который с заданной вероятностью (надежностью) будет заключен искомый параметр (интервальная оценка).

Дата добавления: 2014-01-04