КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Правило дифференцирования алгебраической суммы функций
Правила дифференцирования Пусть функции и дифференцируемы в точке и некоторой ее окрестности. Тогда справедливы следующие правила дифференцирования.
Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных отдельных слагаемых. Доказательство. Рассмотрим функцию . Дадим фиксированному значению аргумента приращение . Тогда функции и получат приращения и , а функция — приращение . Таким образом, по определению .
Так как по предположению функции и дифференцируемы, . Следовательно, . Это правило легко обобщается на случай любого конечного числа слагаемых ⊠
Правило дифференцирования произведения функций. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый, т. е. .
Доказательство. Пусть . Когда аргументу придают приращение , то функции , и получают соответственно приращения , и , причем . Разделим последнее равенство на . В последнем равенстве приращения , и зависят от , а и не зависят от (так как и — значения функции, соответствующие начальному значению аргумента ).
Используя теоремы о пределах функций, находим .
Так как
и (т.к. функция непрерывна). Итак, окончательно имеем: . ⊠ Следствие. Пусть функция имеет производную в точке , тогда функция (— const) также имеет в этой точке производную, причем .
Правило дифференцирования произведения двух функций методом математической индукции легко можно распространить на случай любого конечного числа сомножителей Правило дифференцирования частного функций. Производная дроби (частного двух дифференцируемых функций) равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель представляет собой разность между произведением знаменателя данной дроби на производную ее числителя и произведением числителя на производную знаменателя.
Доказательство аналогично доказательству предыдущих двух теорем.
Пример. Найти производную функции .
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 659; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |