КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теоремы о среднем значении
Теоремы о среднем — одно из свойств дифференцируемых функций.Одним из важнейших классов (множеств) функций, изучаемых в курсе математического анализа и имеющих первостепенное значение при решении задач практического характера, является класс непрерывных функций. Класс дифференцируемых функций является подмножеством множества непрерывных функций. Дифференцируемые функции представляют особый интерес, так как большинство задач техники и естествознания приводят к исследованию функций, имеющих производную. Такие функции обладают некоторыми общими свойствами, среди которых важную роль играет ряд теорем, объединенных общим названием теоремы о среднем. В каждой из этих теорем утверждается существование на отрезке такой точки, в которой исследуемая функция обладает тем или иным свойством. Теорема (Ролля). Пусть функция удовлетворяет следующим условиям на отрезке . 1) определена и непрерывна на ; 2) дифференцируема на ; 3) . Тогда существует по крайней мере одна точка , такая, что . Доказательство. Известно, что если непрерывна на , то на этом отрезке она принимает свое наибольшее и наименьшее значения (по теореме Вейерштрасса). Возможны два случая. 1. =. 2. >. Тогда из условия следует, что хотя бы одно из двух значений или функция принимает в некоторой внутренней точке отрезка . Пусть для определенности . Это означает, что r . Покажем, что . Согласно условию 2 теоремы Ролля, для , в том числе и для точки существует конечная производная функции . Это условие равносильно существованию равных односторонних пределов:
.
Найдем односторонние пределы. Так как >, то приращение функции r0. Следовательно,
.
Случай рассматривается аналогично. ⊠
Геометрически теорему Ролля можно пояснить следующим образом: если непрерывная на отрезке и дифференцируемая в интервале функция принимает на концах этого отрезка равные значения, то на графике этой функции найдется хотя бы одна такая точка с абсциссой , в которой касательная параллельна оси . З амечание. Условия теоремы Ролля являются достаточными, но не необходимыми. Например, функция определена и непрерывна на [—1; 1], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, однако для нее не выполняется третье условие теоремы Ролля: . Тем не менее, существует точка , такая, что .
Теорема (Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует по крайней мере одна точка , такая, что . (1)
Доказательство. Составим вспомогательную функцию
.
Покажем, что функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно:
1) непрерывна на , так как является суммой непрерывных на функций; 2) дифференцируема на , так как является суммой дифференцируемых на функций; 3) .
Тогда по теореме Ролля существует точка , такая, что . , тогда
. ⊠
Теорему Лагранжа иногда называют также теоремой о конечных приращениях.
Формулу (1) называют формулой Лагранжа. Иногда ее записывают в виде: . Геометрически теорема Лагранжа утверждает, что между точками и на дуге найдется по крайней мере одна точка , в которой касательная параллельна хорде , при условии, что в каждой точке дуги существует касательная.
Положим в формуле Лагранжа (1) , . Тогда она примет вид , (2) где .
Формула (2) связывает приращения аргумента и функции, поэтому ее называют формулой конечных приращений.
Если в формуле Лагранжа (1) положить , получим теорему Ролля, т. е. теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. В свою очередь обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.
Теорема (Коши). Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:
1) непрерывны на отрезке ; 2) дифференцируемы в интервале , причем . Тогда существует по крайней мере одна точка , такая, что
. (3) Доказательство. Составим вспомогательную функцию:
.
Заметим, что . Действительно, если бы , то для функции на отрезке [a; b] были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и по этой теореме внутри отрезка нашлась бы по крайней мере одна точка , для которой , что противоречит условию теоремы. Следовательно, .
Покажем, что вспомогательная функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно:
1) непрерывна на как сумма непрерывных на функций; 2) дифференцируема на как сумма дифференцируемых на функций; 3) ,
Найдем производную функции : .
По теореме Ролля существует точка такая, что
. ⊠
При формула Коши (3) «перейдет» в формулу Лагранжа (2). Таким образом, теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 486; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |