Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Доказательство. Рассмотрим случай неубывающей функции

 

Рассмотрим случай неубывающей функции.

Необходимость: Пусть не убывает на .

Тогда при >0

r0 >0 r0

.

Достаточность. Пусть r0 . Тогда по формуле Лангранжа имеем . Так как r0 (<<<<), то : r0, т. е. не убывает на .

Теорема. Если же для любого >0 (<0), то функция возрастает (убы­вает) на этом интервале.

 

Другими словами:

2) >0 возрастает на ;

4) <0 убывает на .

 

Доказательство. Докажем теорему для случая возрастающей функции. Пусть >0 на . Тогда для )>0 и поэтому в формуле Лагранжа, верной для ,

.

при <>0, т. e. возрастает на .

Замечание. Подчеркнем, что условия теоремы для возрастающей и убываю­щей функций достаточны, но не необходимы.

 

Например, функция возрастает на ] — 1; 1[, однако производная в точке обращается в нуль.

 

Геометрический смысл теоремы состоит в следующем: касатель­ная к графику возрастающей на функции (> 0) составляет острый угол с положительным направлением оси ; касательная к графику убывающей на функции (<0) образует тупой угол с осью . Если функция на является постоянной: = C, С = const, то = 0 и касательная к графику функции параллельна оси .

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Функция определена, непрерывна и дифференци­руема на . Для отыскания интервалов монотонности функции найдем :

.

возрастает на некотором множестве, если > 0. Решим неравенство > 0. Оно выполняется при . Следовательно, возрастает на ]2; +¥[. убывает на множестве, где <0. Неравенство < 0 выполняется при .

Итак, функция убывает на интервале ]–¥; 2[, возрастает на ]2; +¥[.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Возрастание и убывание функции | Точки локального экстремума функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 595; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.