Интегралы вида . Универсальная подстановка

Интегрирование тригонометрических выражений

Рациональные функции. Условимся через обозна­чать рациональную функцию относительно , , ,..., т. е. выраже­ние, которое получено из любых величин , , ,..., а также действи­тельных чисел с помощью четырех арифметических действий.

Будем рассматривать интегралы вида при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать подынтегральное выражение, ис­пользовав тригонометрические формулы, применить методы «под­ведения» множителя под знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по частям.

Заметим, что в интегральном исчислении нет общих правил. Интегрирование может быть выполнено не единственным способом. Но даже и тогда, когда имеется теоретическое правило вычисления интеграла, оно может оказаться далеко не лучшим.

Для вычисления интегралов вида существует общая уни­версальная схема вычисления, основанная на универсальной триго­нометрической подстановке . Этой подстановкой интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции перемен­ной , который, как было показано, всегда выражается в элементар­ных функциях.

Действительно, пусть . Выразим , и через :

,

,

, .

Подставляя в подынтегральное выражение вместо , и их значения, выраженные через переменную , имеем

Дата добавления: 2014-01-04