Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

 

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоян­ными пределами интегрирования и . Если оставить постоянным нижний предел интегрирования , а верхний изменять так, чтобы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида

называется определенным интегралом с переменным верхним пре­делом и является функцией верхнего предела . Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой , а верхний предел интегрирования — буквой .

 

С геометрической точки зрения, функция в случае r0 представляет собой площадь заштрихованной на рисунке криволи­нейной трапеции.

 

Найдем производную от по , т. е. производную определен­ного интеграла по верхнему пределу.

Теорема.Производная опре­деленного интеграла от непрерыв­ной функции no его перемен­ному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функ­ции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено зна­чение верхнего предела:

.

Доказательство. Возьмем любую точку и придадим ей приращение так, чтобы . Тогда

.

Используя аддитивность определенного интеграла, имеем

.

 

Применяя теорему о среднем, получаем

,

где .

 

По определению производной, учитывая, что функция непрерывна, получим:

.

 

Из теоремы следует, что определенный интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции на отрезке .

,

т. е. установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.

 

Так как интеграл существует для любого значения ,то данная теорема является одновременно и теоремой о существовании первообразной у каждой непрерывной функции . Этой первообраз­ной может быть определенный интеграл с переменным верхним пре­делом.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1212; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.166.191.100
Генерация страницы за: 0.086 сек.